공기저항력을 고려한 v-t그래프

 물체가 진공을 낙하하는 경우와 달리 공기 속에서 낙하하는 경우 물체는 부력과 저항력을 받는데 공기 속에서의 부력은 무시할 수 있을만큼 작으므로 물체가 낙하할 때에는 저항력만을 받는다고 생각할 수 있습니다. 그런데 이 저항력은 속력에 비례하는 힘이므로(즉 크기가 속력의 상수배), 물체가 받는 알짜힘은 시간이 흘러감에 따라 변합니다. 진공에서 물체가 낙하할 때에는 중력의 크기가 (지구 표면에서는 거의) 일정하여 v-t그래프를 쉽게 그릴 수 있었는데, 공기 속에서 낙하할 때에는 v-t그래프를 어떻게 그릴 수 있을까요?

1. 종단속도

 일단 종단속도에 대해 알아봅시다. 공기 속에서 물체가 낙하하거나 상승할 때 물체가 받는 부력을 무시한 운동방정식(F=ma)은 다음과 같습니다.

mg-kv=ma

여기서 m은 질량, g는 중력가속도, v는 물체의 속도, a는 물체의 가속도, k는 저항상수로, 위 식에서 kv는 저항력이 됩니다. 그런데 물체가 낙하하다가 속력이 점점 빨라지거나 느려져 중력과 저항력의 크기가 같아지게 되면, 위 식으로부터 물체의 가속도는 0이 되어 그때부터 물체는 등속도운동을 하게됩니다. 이때의 속도를 종단속도라고 하는데, 위 식에서 이 종단속도의 값은 mg/k임을 알 수 있습니다.

2. 시간에 따른 물체의 속도

 이제 시간에 따른 물체의 속도를 식으로 나타내어 봅시다. 시간으로 나타낸 속도의 함수를 f(t), 처음속도를 v, 종단속도를 V, 중력이 작용하는 방향을 +라고 합시다. 그러면 위의 운동방정식에서 v의 자리에는 f(t), a의 자리에는 f'(t)가 들어가게 됩니다. 즉 물체의 운동방정식을 다시 쓰면 다음과 같습니다. 

위 식을 정리하면

이 되는데,  이 식의 양변을 미분하면

입니다. f'(t)를 미분하면 -k/m이 곱해져 나오는 형태인데, 이를 통해 f'(t)는 다음과 같은 형태의 함수임을 알 수 있습니다.

위 식에서 C는 상수입니다. 이 식을 맨 처음의 식에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

이제 f(0)가 v(처음속도)임을 이용해 C를 구해봅시다.

따라서 f(t)는 다음과 같습니다.

종단속도 V가 mg/k임을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

3. v-t그래프

 이제 시간에 따른 속도를 구했으니 v-t그래프를 그려봅시다. 그래프의 모양은 다섯가지로 분류할 수 있습니다.

 첫번째는 아래로 물체를 던져 처음속도 v로 낙하하는데, v>V인 경우입니다.

여기서 직선 y=V가 점근선입니다.

 두번째는 아래로 물체를 던져 처음속도 v로 낙하하는데, v=V인 경우입니다.

 세번째는 아래로 물체를 던져 처음속도 v로 낙하하는데, 0

여기서 직선 y=V가 점근선입니다.

 네번째는 물체를 그냥 놓는 경우, 즉 v=0인 경우입니다.

여기서 직선 y=V가 점근선입니다.

 다섯번째는 물체를 위로 v만큼의 속도로 던지는 경우입니다. 즉, v<0인 경우입니다.(중력방향을 +로 두었으므로)

여기서 직선 y=V가 점근선입니다. 위 그래프에서 x절편은 물체를 위로 던지고 난 후 최고점에 다다랐을 때까지 걸린 시간인데 이를 T라고 두고 구해보면 다음과 같습니다.

또 최고지점까지 상승하는 높이는 0부터 T까지의 정적분값으로 구할 수 있습니다.

 이렇게 다섯가지 경우에 대해 공기저항력을 고려한 v-t그래프가 어떻게 그려지는지 보았습니다. 오타 지적, 오류 지적 환영합니다.