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오일러의후손 [922210] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2019-11-26 20:15:11
조회수 2,117

미분으로 도형의 닮음 정의하기

게시글 주소: https://orbi.kr/00025737053

 '크기는 다르지만 모양이 같은 도형 '


 위는 도형의 닮음에 대한 정의입니다. 저번 글에서는 확대와 축소의 개념을 사용해 극방정식으로 나타내어진 두 도형이 닮음일 조건을 유도해내었습니다. (만약 전 글을 읽지 않으셨다면 연결되는 내용이므 로 제 이전 글부터 읽어주시기 바랍니다.)

 이번에는 위의 '모양'이라는 개념을 사용해 도형의 닮음을 정의하려 합니다. 일단 미분을 사용할 것이고 단순폐곡선 형태의 간단한 도형들을 다룰 것이기 때문에 후술할 모든 극방정식 r=f(θ)에 대해 다음이 성립한다고 가정합니다.

  (i) f : [0, 2π] → R

  (ii) f는 미분가능

  (iii) 모든 θ에 대하여 f(θ)≠0

  (iv) f(0)=f(2π)


 1. 기울기함수

 먼저 극방정식으로 나타낸 도형의 한 점에서 접선의 기울기를 구하는 방법에 대해 알아봅시다. 직교좌표계의 한 점 (x, y)와 극좌표계의 한 점 (θ, f(θ))가 동일한 점일 때 x=f(θ)cosθ, y=f(θ)sinθ임은 다음 그림으로 쉽게 알 수 있습니다.

  점 (x, y)에서의 접선의 기울기는 dy/dx인데, 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 사용하면 다음과 같습니다.

 이제부터 위 등식의 맨 오른쪽 식을 r=f(θ)의 기울기함수라고 부릅시다. 


 2. 추측

 직교좌표계에서 두 함수에 대하여 기울기를 나타내는 두 함수의 도함수가 같으면 두 그래프의 모양이 같듯이(도함수가 같으므로 두 함수는 한 도함수의 부정적분들이고, 따라서 y축 평행이동으로 겹칠 수 있기 때문), 극좌표계에서 두 도형을 나타내는 극방정식 r=f(θ), r=g(θ)에 대하여 이 둘의 기울기함수가 같으면, 즉 모든 θ에서 두 도형의 접선의 기울기가 같으면 두 도형의 모양이 같음을 추측할 수 있습니다. 정리하면 다음과 같습니다.

 'kf(θ)=g(θ)인 실수 k≠0가 존재한다 '와 'r=f(θ)와 g(θ)의 기울기함수가 같다 '는 동치인 명제이다.


 3. 증명

 이제 위 추측이 사실임을 증명해봅시다. 두 명제 P, Q가 동치라는 것은 필요충분조건이라는 건데, 이를 증명하려면 P이면 Q이고, Q이면 P이다라는 것을 보이면 됩니다. 과정은 다음과 같습니다.


 (1) kf(θ)=g(θ)인 실수 k≠0가 존재한다고 가정합시다. 그러면

 kf(θ)=g(θ)이므로 r=g(θ)의 기울기함수는 다음과 같습니다.

 위 식으로부터 r=f(θ)와 r=g(θ)의 기울기함수가 같음을 알 수

 있습니다.


 (2) 이제 r=f(θ)와 r=g(θ)의 기울기함수가 같다고 가정합시다.

 그러면 아래의 식이 성립합니다.

 위 식을 정리하면 다음과 같습니다.

 그런데 f(θ)g'(θ)=f'(θ)g(θ)이면

 이고, 위 식에서 (g(θ)/f(θ))'=0의 양변을 θ에 대해 적분하면

 g(θ)/f(θ)=C입니다. 여기서 양변을 f(θ)로 곱하면 g(θ)=Cf(θ)가

 되고, 여기서 C는 0이 아닌 상수이므로 kf(θ)=g(θ)인 실수 k≠0가

 존재합니다.


 (1)과 (2)로부터 'kf(θ)=g(θ)인 실수 k≠0가 존재한다'가 'r=f(θ)와 g(θ)의 기울기함수가 같다'의 필요충분조건임을, 즉 두 명제가 동치임을 알 수 있습니다. 그런데 'kf(θ)=g(θ)인 실수 k≠0가 존재한다'는 

r=f(θ)와 r=g(θ)가 서로 닮음임을 의미하므로, 'r=f(θ)와 g(θ)의 기울기함수가 같다'는 'r=f(θ)와 r=g(θ)가 서로 닮음이다'의 필요충분조건이 됩니다.


 궁금한 점이나 지적할 부분은 댓글로 남겨주세요.

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