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스- [868667] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2019-12-19 23:19:25
조회수 15,711

[가/나] 21수능을 위한 기하학 공식들

게시글 주소: https://orbi.kr/00026357762

반갑다 오르비 친구들.


수학 칼럼으로 찾아뵙는건 꽤나 오랜만인 것 같다.


뭐 내 알 바냐.


각설, 오늘 준비한 내용은 바로


“21수능을 위한 경시 공식들” 이다.


이 주제로 글을 쓰는 것은 두번째이다. 첫번째를 보려면 다음 링크를 타라.

https://orbi.kr/00022226502


아 참, 들어가기 전에,


내가 내년에 수능 볼 것도 아니고, 교과서에 실린 공식 다시 쓴다고 뭐라 그러지 말아주라. 어차피 알아야 하는 것 아니냐.


본론으로 들어가자.


정량적인 답 만을 요구하는 수능 수학 시험의 특성상, 원주각 등의 기하적 요소를 기똥차게 쓰지만 수치를 구하는 데 쓸데없는 정리는 소개하지 않는다. (대표적으로 심슨의 정리, 제르곤의 정리 등)


21수능이 20수능과 다른 점 중, 유난히 튀는 부분은 이거다.


‘사인법칙, 코사인법칙’


그들의 재림이다. 이들을 이용한 삼각함수 도형 극한 문제가 29번 난문으로 등장할 가능성이 높아졌고, 직각을 끼지 않은 삼각형에 대해 정량적으로 묻는 문제도 많아질 것이다.


다시 한 번 언급하지만, 수능은 이런 야매 써서 풀리지 않게 내는 것이 원칙이다. 사설모 풀 때나 검산할 때 달달히 써먹도록.


1. 삼각형의 넓이를 구하는 여러가지 방법


1-1)abc/4R

S=0.5absinC와 사인 정리의 기가 막힌 조합이다.


알고 있다고? 어쩌라고, 나도 알아요.


1-2) 헤론의 정리

개꿀 공식이다. 매우 달달하다. 세 변 길이가 있을 때, 삼각형 넓이를 아주 빠르게 구할 수 있다.


코사인 법칙으로 끼인각의 사인값을 구하고 이래저래 식 변형하면 얻을 수 있는 공식이다. 그 방법을 단축했다고 하면 될까나.


주의할 점은, 세 변의 길이 중 어느 둘도 유리수배가 아니면 공식의 적용을 다시 생각해볼 필요가 있다. 계산 줄이려다가 근호에 호되게 쳐맞는다.


2. 원과 사각형

삼각형 둘이 한 변을 공유하면 사각형을 이루게 된다. 그런 의미에서, 사각형은 삼각형을 아주 여러 개 품고 있다. 여기서 적용할 수 있는 공식 두 가지를 소개한다.


2-1) 브라마굽타의 정리

내접사각형이라 하면, 원에 내접하는 사각형이라는 것이다. 증명은 복잡하다. 직접 찾아보든가. 이것도 적용할 상황 잘 찾아서 쓰도록. 괜히 계산에 뚜드려맞지 말고.


2-2) 톨레미의 정리

프톨레마이오스. 그 뭐냐 19수능 국어 지문에 나오는 아저씨인 걸로 기억한다. 지문은 읽기 힘들었지만 이 공식은 외우기 쉽다.

개 직관적이다. 와우! 등호는 내접사각형에서만 성립, 내접사각형이 아니면 우변이 더 크다는 부등식이 성립한다. (물론 볼록사각형일 때).


본 공식은 각 변의 길이를 다 구하고서 검산할 때 쓰면 개꿀딱이겠다. 증명은 구글에 널렸다.


여담으로, 개정 전에 이차곡선 단원이 수능에 나왔을 때, 여러 사설모의 문제에서 이를 달달하게 써먹을 수 있었다.

대칭을 강조하기 위해 도입한 도형인 등변사다리꼴은 사실 원에 내접하기도 하기 때문이다. 2020 기대모에도 이거 써먹을 문제가 2개쯤 있던 걸로 기억한다.


3. 스튜어트의 정리

아 이거 까먹을 뻔 했네.

이 공식은 외우기 살짝 힘들다. 여러 번 적용해가며 익혀야 한다. a=m+n으로 바꿔 외워라.


증명은 코사인 법칙 2번 적용하여 해결. 이 때 사용하는 코사인의 각은 m, n, d가 만나는 지점을 중심으로 하는 두 각이다. 여기서 코사인 법칙을 2번 쓴 것을 단축하면 스튜어트의 정리가 된다. m, n, b, c, d 중 하나만 모를 때 이 공식을 쓰도록 하자.

참고로, m=n이면 파푸스의 중선 정리를 얻는다.



본인이 준비한 공식들은 여기까지다.


사많배산. 사공이 많으면 배는 산으로 간다. 이 공식들, 알아둘거면 제대로 알아두고, 안될 거 같으면 과감히 버리고 교과서 기반으로 문제를 풀자.


21수능 수학 만점을 기원드린다.


그러니까 좋아요 좀 눌러줘라.

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