[가형] 알아두면 좋은 경시 공식들 (+뒤에 18학년도 수능 가형 30번 풀이)
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들어가기에 앞서,
[물리1] 유체역학 칼럼: https://orbi.kr/00021769541
물리 선택자들은 한번 보면 감사하겠음. 꾸벅.
KMO라는 수학 경시대회가 있다. (과고 준비하는 중딩이나 과고들어간 고딩이 본다. 과고떨하고 일반고 들어간 변태도 본다.)
준비과정에서 배우는 몇가지 기하학, 대수학 공식들이 있다.
물론 수능은 이런 공식들 써서 잘 안풀리도록 설계되지만,
외우기 편한 공식만 준비했을뿐더러 모른다고 나쁠건 없다.
재치있는 풀이로 문제를 풀면서 수학공부에 재미를 더해보자.
수학 꽤나 한다 하는 사람이면 1,2번은 스킵.
1. 산술기하평균부등식
다들 알만한 공식. 모든 자연수 n에 대하여 성립하며, 저 부등식 안의 a1~an은 모조리 양수여야 한다.
(0이어도 문제는 없다만, 그럼 굳이 저 공식을 써야 할까?)
n=2까지는 중딩수준에서 증명이 되지만,
모든 자연수n에 대해 성립한다는 내용의 증명은 복잡하다.
Ask google.
용례) 최대, 최소를 구할 때 (170330)
열심히 NGD(노가다)를 하다 보면 마지막 계산에 산술기하평균부등식을 쓸 수 있는 때가 온다.
화이팅.
2. 코시-슈바르츠 부등식
좌변의 양쪽 괄호에 같은 개수의 수가 들어기만 하면 오케이. 모든 실수 x,y,a,b,...에 대해 성립.
절대부등식 (실수의 제곱은 0 이상이다.)의 멋진 변형이다.
용례) 원, 타원에 접하는 기울기 뭐시기인 접선의 방정식의 절편 구하기.
에 접하는 기울기 m인 직선을 구하자.
에서(좌변 두번째 괄호는 -am의 제곱 더하기 b제곱.)
가 타원의 한 점을 지나는 기울기 m인 직선 중 절편의 절댓값이 제제일 큰 접선이 된다.
3. 메넬라우스의 정리, 체바의 정리
경시 기하학은 정말이지 이상한 공식이 많다.
그 중 여러분이 평면벡터 내신문제, 간혹가다 수능문제에도 적용 가능할만한 공식이 위 둘이다.
3-1) 메넬라우스의 정리
삼각형 (ABC)를 자르는 직선 (GHF)가 있을 때 성립.
(CJ는 AB와 평행함.)
보통 전진*5 후진*1로 외운다. (AG GC CH HB BF FA)
본인은 전진 후진 전진*4로로 외움. (AF FB BH HC CG GA)
여담으로, 역정리(준식=1일 시 GHF는 일직선)도 성립한다. 증명은 귀류법으로.
3-2) 체바의 정리
삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 세 직선이 삼각형 내부의 한 점을 공유할 때 성립.
증명은 그림의 보조선을 이용하여 스스로 해보Ja.
마찬가지로 역정리(준식=1일 때, 세 직선은 한 점을 공유)도 성립. 증명은 마찬가지로 귀류법.
용례) 이상한 도형(삼각형, 평행사변형)에 이상한 점과 선 그려놓은 문제들 부수기
문제 가져오기 귀찮음.
4. 헤론의 공식
삼각형의 넓이를 구하는 공식은 하나(s=0.5ah) 빼고는 거의 다 삼각형의 합동조건을 내포한다.
(s=0.5absin세타 : SAS, sarah의 정리(=신발끈공식) : 하나를 기준으로 한 나머지 두 점의 위치벡터, 헤론의 공식 : SSS)
위 공식의 증명은 그냥 한 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선 때려서 계산하면 된다.
용례) 삼각형 넓이 구하기 귀찮을 때.
변의 길이 중 서로 유리수배가 아닌 무리수가 둘 이상이면 조용히 다른 방법을 찾자.
5. 욕심쟁이 알고리즘 (재배열 부등식)
(배경식이 다른 이유; 퍼왔음 (나무위키))
(역시나 출처는 나무위키.)
모든 실수, 부호 상관없이 실수쌍 개수만 같으면 장땡.
유유상종. 큰놈은 큰놈끼리, 작은놈은 작은놈끼리 곱해서 더해야 최대다.
이걸로 17년 시행 수능 30번 풀거다. 본인 실제로 작년에 기출문제집 풀다 이 문제 5분컷함.
문풀 스포 있으니 문제 처음보는 사람은 뒤로가기.
푸리에 해석을 고교과정 수준으로 냈다고 하는 사람들도 있다만,
본인의 주관적 해석으로는 이건 정적분을 이용한 재배열 부등식 문제이다.
풀어본 사람은 알겠지만, g(t) 가 t가 (k~k+8)에 속한 자연수일 때 극값을 가진다는 것이 문제의 핵심이다.
물-론, 문제에 제시된 두가지 함수 f, cos(pi x)의 그래프를 그려보면 답을 찍어맞출 수 있다.
그렇다면, 우리 스-는 어떻게 저 변태 같은 문제를 풀어냈을까?
g를 구분구적법으로 이해해보자.
구분구적법은 리미트 시그마, 조그마한 넓이의 무한합으로 정적분을 표현한다. 위 문제에서 조그마한 넓이는 (가로 곱하기 세로)= dx 곱하기 (f 곱하기 cos 의 값)이
된다.
연속적인 f의 값 중 하나와 cos(pi x)의 값 중 하나씩 선택하여 곱하여
무한히 더하는 것으로 이해할 수 있다는 것이다.
여기서 g가 극소가 되는 점을 빨리 찾을 수 있다.
재배열 부등식의 제일 왼쪽
변을 보면, 크기 순서를 뒤집어 곱하여 더한 것이 제일 작다.
그렇다.
cos (pi x)의 극소점과 f의 극대점이 겹칠 때,
우리는 곱의 합으로 나타내어진 재배열부등식의 최소항을 정적분을 통해 얻을 수 있고,
g(t)는 이 때 극솟값이자 최솟값을 갖는 것이다.
반대로 생각하면, 극대이자 최대일 때는 두 함수의 극대점이 겹칠 때이다.
구간 [k,k+8]의 양 끝에서의 생각과 나머지 부분적분 등등의 계산은 스스로 해보자.
EBS의 해설은 위와 같은 증명 과정을 생략하고 그냥 위의
결론을 도출해 내었는데,
실제로 저것을 정적분과 미분을 이용해 증명하려면 꽤나 많은 계산과 노력을 들여야
한다.
교과서 내용에 충실하게 문제를 푸는 것도 사고력 증진에 도움이 되지만,
이런
공식들, 알아서 나쁠 건 없으니
도움되었으면 좋아요좀 눌러줘라. 꾹.
(수정: https://orbi.kr/00022241486 / 1,2번 공식을 멋지게, 오류 없이 쓰는 방법도 배우고 가자.)
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ㄷㄷㄷㄷ
영떨이 과떨이 좋아요
멋져욧
진짜 공식 졸라 많구나 ㄷㄷ
ㅅㅂ이런걸 써야 30번 맞추는거임?
ㄴㄴ
그건 아닌거죠. 이런 방법도 있다, 정도로 봐주시면 좋겠습니다.
"알아둬서 나쁠 거 없지 않나?"라고 할 수 있겠지만 모르는 게 낫습니다. 왜냐하면 시간은 무한하지 않고 뇌 용량도 한계가 있기 때문입니다. 또한 학습론에서는 한 정보가 들어오면 그것이 기존의 다른 정보를 밀어낸다는 간섭효과를 언급하기도 합니다. 즉 저런 공식을 알아두려고 하는 순간 필연적으로 많은 기회비용이 발생한다는 겁니다. 고로 수험생들은 이런 거 집어넣을 시간에 다른 공부하는 게 훨씬 이득입니다. 저런 공식이 수능에 쓰일 확률0.1% 미만입니다.
간단한 내용만 넣어놨어요. 증명과정을 외울 필요도 없을 뿐더러... 뇌 용량의 한계에 어느정도 영향을 줄지는 의문이네요.
음... 제 생각으로는 저 공식들을 외운 채로 시험장까지 가기에는 꽤 많은 노력이 필요합니다.
저런 공식들은 기출에서 쓰일 일이 거의 없기 때문에 십중팔구는 며칠 지나면 까먹습니다.
그럼 저걸 외우려고 하는 사람은 "아 뭐였지? ㅅㅂ" 하고 다시 들춰 보겠죠? 이짓을 몇 번 반복해야 결국 시험장에 저걸 외워 놓고 들어 갈 수 있을 겁니다.
근데 단순히 저 공식들을 외워 놓고만 있다고 되나요... 저 공식들이 쓰일 만한 소재에 적용해 보는 훈련도 몇 차례 거칠 겁니다. 시간은 더 쓰겠죠?
근데 정작 수능 시험장에 갔더니 안 나옵니다. 기가 막힌 거죠. 그 시간에 과탐이든 수학이든 다른 공부를 더 할 수도 있었을 텐데 말이죠. 그리고 그때 공부한 그것이 수험생으로 하여금 한 문제를 더 맞히게 할 확률은 저 공식을 외워서 수학 한 문제를 더 맞히게 할 확률보다 높고요.
효율상으로는 이런 공식 생각 안하는 것이 나을 수 있고, 적응훈련이 필요한 소재들이긴 합니다. 사족이라 생각할 수도 있어요.
근데 누가 그랬었죠, 실전에서의 확률은 0 혹은 1입니다. 거의 대부분의 상황에선 0일겁니다.
초반부에도 수능수학은 저런걸로 안풀리게 설계되었다고 썼구요.
사실 내신수학에 더욱 초점을 맞춘 칼럼이었습니다. 예를 들어, 3,4번 공식은 평면벡터 단원에서 사설 문제집 (블랙라벨, 일등급수학 등)을 푸는데 유용하게 쓸 수 있습니다.
그냥 저런 사고방식이 있다, 정도로만 알고 넘어가시면 좋겠네요.
메넬라우스는 평면도형 문제에서 엄청 자주쓰이는데.. 공간도형에서도 단면화해서 풀다보면 메넬라우스로 간단해지는거 엄청많은데
저중에 메넬이랑 산술기하는 수도없이쓰입니다
수능 기출 문제 중에서 써서 이득 볼 만한 문제 좀 알려 주실 수 있을까요? 제 기억으론 없는데...
생각보다 어려워서 좌표잡거나 시간 많이 뺐겼다는 이번 수능 19번 메넬라우스 쓰면 뚝딱 풀려용 이외에도 많은데(사관학교 기출도 있었고 평가원 기출 기억나는건 있ㄴ느데 번호가 기억이 안나네요 언제꺼엿는지..)
평면벡터에서 내분 비율 구하는거나 공간도형에서 단면화할때(단면화하면 한 꼭짓점/ 일부 변에 벡터 들이 집중되다보니 메넬라우스 쓸만한 구도가 자주 나오더라구요. 원래 위치벡터로 내적해서 비율 구하거나 좌표잡는 문제였는데 저는 메넬라우스로 되게 쉽게 푼 기억도 납니다)
피스님이 기억 안나는거는 평소에 메넬라우스 말고 다른 풀이로 자주 푸셔서 그런거 아닐까요? 반대로 저같은 경우는 평소 풀이 자체를 경시 공식같은걸 많이 써서 풀어서
자연스럽게 메넬라우스가 생각이 나서 주로 그걸로 푸는데
말씀하신것처럼 기초 교육과정 내 풀이로도 충분히 풀리는건데 괜히 고3/n수생 학생이 지금 저 글을 보고 '오 괜찮은데?' 하고 따라하려하면 괜히 머리만 복잡해져서 힘들듯하네요
시험장에서 풀이는 결국 자기가 원래 하던 풀이대로 따라가게 되있어서
저도 메넬라우스가 원래 풀이보다 혁신적이다 라서 푸는거보다는
옛날부터 써와서 걍 자연스럽게 쓰는거다보니
산술기하는 미적분할때 분수+다항 함수 꼴 최대 최소 구할때 쓰이더라구요. 킬러문제 풀때 유용했습니다만 이건 워낙 많이 아는거니까 ㅎㅎ
생각해보면 저도 인강이나 현강 들으면서
정석적이고 간결한 풀이들 보면서
자꾸 경시 공식 써서 푸는 제 습관 고치고싶다고 한 기억이 한두번이 아니라.. 마냥 좋은 습관은 아니죵
이 글도 좋은 글입니다만 저런 풀이에 익숙하지 않은 사람이 이 글 보고 시험장에서 저걸 쓸 일은 거의 0에 가까워보이네요
힘들게 썻는데 이딴거 필요없음ㅋ 이러니 작성자 오열
한술더떠서 외적까지 가시지 ㅋㅋㅋ.. 제2코사인 로피탈이 교육과정에는 없지만 다들 잘쓰는것처럼요
제2코사인은 다들 아는 것 같아서 패스했었구... 로피탈이나 외적은 중딩용이 아니라 pass
코시 수1아님? 시소공식 정식명칭 이제 알았네
글고 그리디 알고리즘 이케 쓰는거 첨보네여 ㄷㄷ수1 교과서에선 코시를 안 다뤘던 것으로 기억해요. 제 기억으로는.
동아 교과서가 이상한듯 거기 사이클로이드도 다루는데 ㅋㅋ
교과외내용이긴 하지만 수리논술에도 출제되고 모의고사에도 사이클로이드의 매개변수식을 낸 적이 있는걸로 기억...
형님 어제 20181130 도전하다가 책 집어던졌습니다
아... 한번 풀어내기 전에 위 풀이를 보는 것은 별로 안좋을텐데 말이죠
근데 다들 이 정도는 알고 쓰지 않나욤 현티도 몇 번 쓰시는 거 같고
시소 ㅇㅇ
진짜 도움되는 글인데..반응이 다 부정적이네..모르는 것 보단 아는게 낫지
저런것보다 벡터의 외적이 훨씬 유용한데... 공간도형방정식에서 두 벡터 이용한 법선벡터 구할일이 많으니
주제(중등경시)에 맞춰서 썼었습니다.
외적과 관련된 내용은 나중에 한번 써봐야겠네요.
넹 ㅠㅠ 제가 감히 말씀드리자면 윗글처럼 번잡하게 쓰기보단 그냥 계산법만 간단히 알려주시면 훨씬 잘 읽힐거에요!
어떤 부분 말씀하시는건가요?
2번 용례 굉장하네요.
저 공식 교과과정에서 제외되어서
타원 기출중에 지금 수록하기 어려운 문제 많던데
좋은글 잘읽엇습니다. 중딩때 기억이 새록새록...
수능 수준에선 장점보단 단점이 많은듯
어설프게 알면 힘들어지죠.
재배열 부등식ㅋㅋ 나도 저걸로 현장에서 풀었음.
조합론쪽 얘기가 좀 없군요.
포함배제 원리
카탈란 넘버
교란순열
이정도는 꽤 자주 쓰이던데ㅋㅋ 일반항 정도는 아는게 좋을듯도 함.
확통의 경우는 요즘 어렵게 안내는 추세라... 아는게 독일 듯 했어요.
와ㅋㅋㅋ일반항 다까먹엇당
저거 마지막 문풀 저렇게 못하면 개답답해짐 ㅇㅇ
맞말 추
메넬라우스는 많이 썻는데 ㅇㅅㅇ
수포자가 봤을땐 아랍어 같네요
체바의 정리 익숙해 보인다 싶었는데 학교 경시에 나왔던거네
근데 3번은 ㄹㅇ 기벡에서 도움될 때 많음
나... 나형도!
이과 현역이라... 문과수학은 어떤 개념이 중요하게 다뤄지나요
저도 현역이라 잘은 모르지만 비율은
수2 미적 확통 11대11대8이요
기출문제집같은 것 풀었을 때 어렵게 다뤄지는 개념은 역시 다항함수의 성질인건가요
교과과정만으로 풀리는 것이 수능인데.. 이런 것이 소재로 나오는 문제를 나오길 기다리는 것은 요행
요행을 바라는 일일수도 있지만 181130 문제 보고 쓰일 수도 있겠다 해서 올려봤습니다.
형 헤론 했으니 브라마굽타도 올려줘
원에 내접하는 사각형의 넓이는 구할일이 없던걸로 기억...
ㅠㅠ
형형 게르곤느 ㄲ
삼각형 내부의 한 점을 공통으로 지나는 세 직선에 관한 내용은 잘 출제가 되지 않고 있어요. 상당히 특수한 케이스이기 때문. 최소한 수능이나 모의고사에서는요.
기하학의 다양한 정리를 접하고 증명해보는 것은 수학에서의 논리력 향상에 많은 도움이 됩니다...만, 올리기엔 그림그리기 귀찮으니 pass.
ㅠㅠ
문과 아는척 실패했다 이거야...
공식 겟또다제wwww
시소 저거 윽건쌤이 기벡할때 해준거죠?
제가 윽건씌 인강을 안들어서 잘 모르겠네유 비슷한거겠죠 아마?
코시슈바르츠는 고1, 헤론의 공식은 수1에 나와요
작성시기 봐주세요
아 넵 ㅋㅋㅋ