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國士無雙 [893689] · MS 2019 · 쪽지

2019-07-31 19:09:28
조회수 526

이론적인 외적의 접근(칼럼)-0.5

게시글 주소: https://orbi.kr/00023903818

일단 계산법부터 알아보죠. 


제가 수학적으로 틀렸다고는 볼 수 없는 범위 내에서, 약간의 변용과 활용을 통해

외적을 설명해 보도록 하겠습니다. 


수학적으로 엄밀하지 않을 수 있으니 그런 부분 있다면 코멘트 달게 받겠습니다.


1. 기저


x,y,z 축이라는 것을 우리가 공간상에서 다룹니다. 


일반적으로 외적이라는 것을 공간상에서 두 벡터에 동시에 수직하며, 두 벡터를 평행이동시켜 시점을 일치시켰을 때 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 그 크기로 가지는 벡터를


C=AXB와 같이 정의합니다.


이때 C 벡터의 방향은 A 벡터와 B 벡터가 이루는 각 중 작은 각을 기준으로 하여 오른손에서 A 벡터에서 B 벡터 방향으로 '감아 쥘' 때, 엄지손가락의 방향에 해당합니다.


이것을 바탕으로 3차원 공간에서 보다 일반적인 벡터의 연산을 정의하면,


어떤 방향이며 그 크기가 1인  벡터를 기저벡터라 합니다. 


x축 방향을 가지는 기저벡터를 e1 y축 기저벡터를 e2, z축 기저벡를 e3라 합시다.


이때, 각각의 벡터가 만드는 평행사변형 넓이가 정사각으로 1임은 자명합니다.


고로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.


e1 =e2 X e3


e2 =e3 X e1

  

e3 =e1 X e2


나아가, 우리가 사용하는 공간에서의 벡터 표기법


A(a,b,c) 는


a*e1 +b*e2 +c*e3 


와 같이 나타낼 수 있습니다. 


즉, 기저벡터를 활용하면 모든 공간벡터를 세 기저의 스칼배의 합으로 나타낼 수 있는 것이죠.


또한 실수 a,b,에 대해 


a*e2 X b*e3 =a*b*e1



임은 평행사변형을 생각해 보면 당연합니다.

각각의 기에서 일반성을 잃지 않으므로,


A(a_1,b_1,c_1) X B(a_2,b_2,c_2)=C


에 대해, C의 계산이 가능합니다.  


아래첨자가 많이 들어가니 옯이 못버네요 일단 여기까지.


그리고 위의 결과에서, 당연하게도, A X A=0


이라는 사실을 알 수 있습니다. 


즉, 어떤 두 벡터의 외적 연산에서, 한 기저의 결과는 오직 그와 다른 기저 간의 연산에 의존하는 것입니다.





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國士無雙 [893689]

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