간단하게 써보는 기하와벡터 개념 칼럼 (4)
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교과서 칼럼 연재중입니다.. ㅎㅎ
오늘은 이과생들을 위한 개념을 들고왔는데, 사실 간단하고 모두가 알고있으실 것입니다.
알고있는 것을 복습하고, 이 개념이 실생활에서 어떻게 쓰이는지에 중점을 두어 보시면 좋겠습니다!
정사영의 정의는 이렇습니다.
이제, 정사영의 정의를 수선의 발로 기억하셔야 합니다.
어떤 평면에 도형 위의 점의 수선의 발을 무수히 내려서 생긴 도형을 정사영이라 하며,
그림자는 정의에 따르면, 반드시 정사영이 아닐 수도 있습니다.
예를 들어볼까요?
(출처 : 미XN 기하와벡터 교과서)
다음의 경우, 그림자는 정사영이 아닙니다! 평면에 수선의 발을 내린 것이 아니기 때문이지요.
저 상황에서는 정의대로라면 빛의 진행방향에 수직이며, 구의 중심을 지나는 평면이 구와 만나는 단면이 정사영이 됩니다.
즉, 그림자 도형에서 평면에 내린 정사영이 단면을 형성하는 것으로 보아야하지요.
정사영의 이름때문에 그림자와 정사영이 항상 같은 개념이라 생각하시면 위의 예제를 잘 못풀게 되는 것입니다!
이제, 정사영의 정의를 이용해서 다음의 개념을 생각해봅시다.
(출처 : 영상치의학 제 5판 p.136)
이 개념은 치의학과 학생이 배우는 방사선 촬영법 중 등각촬영법에 대한 이야기로, 이 촬영법에는 정사영의 개념이 숨겨져있습니다.
등각 촬영술의 목적은 방사선 사진에서의 치아 길이와 실제 치아 길이가 동일하게 되게 하는 것입니다.
기본적인 방법은 이렇습니다.
1. 가능한 한 필름을 치아에 가깝게 위치시킨 후
2. 치아와 필름 사이에 형성된 각을 이등분하는 가상선에 중심선을 수직으로 조사합니다.
3. 이 때 정사영의 정의에 의해 방사선 사진의 치아길이와 실제 치아 길이는 같습니다.
이 현상에 대해서 잠깐 생각해볼 수 있나요? 왜 길이가 같게 될까요? 그 원리는 무엇일까요?
각의 이등분선은 도대체 어떤 역할을 할까요?
(출처 : 영상치의학 제 5판 p.136)
너무나도 당연하게도, 치아의 장축과 필름을 이등분하는 평면은 정사영을 위한 가상의 평면입니다!
또한, 필름의 상과 치아의 장축 모두 정사영이 될 수 없지요. 가상의 평면에서의 상이 정사영이 될 것입니다.
가상평면과 필름, 그리고 가상평면과 치아의 장축의 각은 동일하며 이것을 a라고 합시다.
즉, 치아의 넓이를 S라고 하면, 정사영의 넓이는 S cos a 가 됩니다.
또한, 필름의 상의 넓이를 S'라고 하면 정사영의 넓이는 S'cos a가 되며, 이 넓이는 일치합니다!
cos a는 0이 아니므로 S=S'입니다. 이 원리에 의해서 등각촬영법으로 상의 넓이와 실제 치아 넓이를 일치시킬 수 있습니다!
이제, 본문 마지막 문단에 제시된 치아 길이의 왜곡 상황도 정사영의 개념을 통해 설명하겠습니다.
[중심선이 이등분선에 수직으로 조사되지 않으면, 방사선 사진 상에서 치아 길이의 왜곡이 발생하는데, 이 때 이등분선에 대해 중심선의 수직각이 직각보다 클 때, 치아의 상이 축소되고 반대로 중심선의 수직각이 직각보다 작을 때, 치아의 상이 연장된다.]
이 상황을 그림으로 표현하면 다음과 같습니다.
이 또한, 정사영의 정의에 의한 가상 평면의 재정의에 의한 개념설명이었습니다.
이렇게, 수선의 발을 내릴 평면을 먼저 정의해야 비로소 정사영의 정의가 완성이 됨을 여러분이 이해하시길 바랍니다!
또한, 요즘에 제가 느끼는 것은, 모든 지식은 연결된다는 것입니다.
비록 간단한 개념이긴 하지만, 치의학과 학생이 배우는 개념은 여러분이 배우는 간단한 정사영의 정의와 연결됩니다.
여러분이 어떤 한가지의 지식을 소홀히 하시는 것은 지금 당장의 결과와는 무관할지도 모릅니다.
하지만, 나중에 다른 지식과의 연결을 할 기회를 잃을 수도 있지요.
이해할 수 없는 것이 늘어버리는 것은 어찌보면 비극일지도 모릅니다.
그러므로 지금 배우는 개념의 원리와 쓰임에 대해서 쓸모없게 생각하지 않으시길 바랍니다.
세상을 좀 더 이해할 수 있을 기회를 놓쳐버릴 수도 있으니까요.
칼럼 정독해주셔서 감사합니다!!
치의학 교과서는 26각인걸..
꿈보다는 철학을 가져야합니다.
흙수저 얘기가 나와서 써봅니다.
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