교과서 증명 왜 공부할까요? (part.1)
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교과서 증명 왜 할까요 (part 1)..pdf
여러분은 교과서를 안해요.. 안한다구..!
안녕하세요. 교과서 안의 개념 연결과, 교과서 개념과 기출 연결을 강조하고 있는
일반청의미 이원엽이라 합니다.
이번 칼럼은, 교과서의 증명을 왜 해야하는가.
그리고 어떻게 해야하는가에 대해 논하는 칼럼을 갖고왔습니다.
칼럼에 수록한 연결과정은 교과서를 보시면 수없이 많은 사례들이 있으나,
저는 4개 + 1개의 사례를 들어 증명의 중요성과, 증명 공부의 방향성을 제시하려 합니다.
또한, pdf로도 올려볼게요. pdf에 같은 내용이 넣어져 있습니다!
칼럼의 반응이 좋으면 여러가지의 사례를 더 정리해서 연재할게요!
이 내용이 공감이 되신다면! 좋아요와 덧글 남겨주세요!
시작합니다!!!
어떤 사람들은 교과서 증명을 그저 외워야하는 대상으로 바라보곤 합니다.
저 또한, 많은 생각 없이 일단 교과서의 증명을 따라 공부해보았지요.
저는, 교과서의 증명을 스스로 하기 위해 교과서 자체를 이용하는 수밖에 없었습니다.
예를 들어, 삼각함수의 미분법을 증명하기 위해서 그 앞의 내용을 복습했어야 했지요.
지금 생각해보면, 제가 수학 실력을 빠르게 향상시킨 비법은 바로 이 증명 때문이었습니다.
오늘은 이 증명을 학습하는 방법에 대해서 몇 가지 예시를 간단하게 들겠습니다.
짤 칼럼이므로, 가볍게만 봐주시길 바랍니다!
➀ 삼각함수의 도함수 유도
(출처 : 미적분 2 교과서)
이 도함수 유도 공식을 그저 따라 유도하는 것만으로는 실력이 늘지 않습니다.
삼각함수의 도함수를 유도하기 위해서 어떻게 해야 하는지에 대한 고민이 필요합니다.
첫째로 
를 어떻게 해결할 지 생각해야합니다.
둘째로, 극한값을 어떻게 구할지 생각해야 합니다.
이 두 가지 문제에 대한 답은 다음과 같습니다.
첫 번째 문제에 대한 답입니다 (출처 : 미적분 2 교과서)
두 번째 문제에 대한 답입니다 (출처 : 미적분 2 교과서)
기억하세요.
증명은, 기존에 배웠던 개념을 사용하여 이뤄지는 것입니다.
기존에 배웠던 개념을 지금 배우는 개념에 연결하기 위해 증명이 필요합니다!
이제, 여러 가지 예시를 한번 들어보면서 생각해보도록 합시다.
➁ 실수 범위에서의 xa 의 도함수 유도
(출처 : 미적분 2 교과서)
우리는 이 증명을 굳이 안합니다. 왜냐면, 어차피 형태는 똑같으니까요.
어차피 xa를 미분하면, 
이 되고, 예전에 배웠던 형태와 똑같습니다!
그냥 실수도 되는구나.. 하고 생각하고 넘어가게 되는 것이지요.
하지만, 인내심을 갖고 저 내용을 증명해보려면, 우리는 다음의 개념이 필요합니다.
합성함수 미분법의 개념입니다. (출처 : 미적분 2 교과서)
로그함수의 도함수 개념입니다. (출처 : 미적분 2 교과서)
그래서 교육과정에 들어있는 개념의 위치 또한 저는 중요하다고 생각합니다.
앞쪽의 개념을 알고 나서야 증명할 수 있는 개념들이 있으니까요.
우리가 교과서를 공부할 때 주의 깊게 보아야할 것은,
앞에서 배운 개념이 어떻게 이 사실을 아는데 쓰이냐는 것입니다.
증명과정을 아는 것 보다, 개념과 개념을 연결하는 작업이 더 중요합니다!
➂ 무게중심 성질 유도
무게중심은 세 중선의 교점으로 정의합니다.
무게중심이 중선을 2:1로 내분하는 과정은 다음과 같습니다.
(출처 : 중학교 2학년 수학 교과서)
이것을 증명하기 위해선, ➀평행선의 성질, ➁닮음 조건 의 개념이 필요합니다!
(출처 : 중학교 2학년 수학 교과서)
교과서에는, 무게중심의 내분을 증명하기 전에, 다음과 같은 정리를 적어놓습니다.
(출처 :중학교 2학년 수학교과서)
즉, SAS 닮음이라는 개념을 이용한 것이네요. 이것을 중점 연결 정리라는 말로 설명하기도 합니다!
중점 연결에 의해 동위각이 같으므로, 위 그림에서 AB선분과 ED선분은 평행합니다.
그렇다면, 엇각도 같으므로 각 ABG와 각 DEG가 같으며, 각 AGB와 DGE도 맞꼭지각으로 같습니다. 그러므로 AA 닮음이 성립하며, 닮음비는 2:1이 되겠죠.
대응하는 변이 BG는 EG와 대응되기에 2:1의 길이 비를 가지며
BE는 중선이기에, 중선을 2:1로 내분하는 것이 증명되었습니다.
AD도 마찬가지의 방법으로 내분함을 보이면 됩니다.
1. 중점을 연결해봄으로 인해 생기는 SAS 닮음
2. 동위각이 같으므로 평행한 두 선분. 평행하므로 엇각이 같음.
3. 엇각이 같음을 이용한 (맞꼭지각 개념 이용할 수도 있음) AA 닮음.
이 개념들은 다 앞에서 배운 것들입니다.
그저 증명을 외우기만 하는 것이 증명의 목적이 아니라는 것을 이제 아셨을 겁니다.
이 증명을 통해 여러분은 반드시, 예전 개념과 지금 개념의 연결을 하셔야 한다는 것입니다!
➃ 좌표 공간에서의 두 점 사이의 거리의 논리
(출처 : 고등학교 기하와 벡터 교과서)
여러분은 이 개념을 그냥 평면에서 두 점 사이의 거리 구하는 공식에서 z 추가한다고 배웠을 겁니다.
그러나 그렇게 생각하시면 안 됩니다! 만약, 그게 맞다면, 좌표평면 단원에서 이것까지 다 배워야해요.
하지만, 굳이 공간도형을 배운 이후에 이것을 배우는 이유는 딱 한가지입니다!
피타고라스의 정리를 쓸 수 있는가를 확실하게 보이기 위해서.
(출처 : 고등학교 기하와 벡터 교과서)
이제, 우리는 z축이 x축, y축과 원점에서 만나면서 동시에 수직한 것을 압니다.
x축과 y축은 원점에서 만나므로 만나는 두 직선의 조건에 의하여 xy평면을 이룹니다.
x축, y축 두 직선에 동시에 수직한 z축은 x축, y축이라는 두 직선을 포함하는 평면에 수직입니다.
그러므로 xy평면에 평행한 평면 위의 선분과, z축에 평행한 선분은 수직인 것이 이젠 자명한거에요!
우리는, 그래서 수직인 두 선분에서 피타고라스 정리를 이용할 수 있는 것입니다.
이 사실을 우리가 완벽하게 알기 위해서는
1. 평면의 결정조건
2. 평면과 직선의 수직 개념
3. 좌표공간의 정의
를 알아야 한다는 것입니다!
★ 포물선을 비롯한 이차곡선의 공통점
증명은 아니지만, 한번 써보도록 할게요.
(출처 : 고등학교 기하와 벡터 교과서)
여러분은 이차곡선을 배울 때, 어떻게 배우시나요?
저는 이 개념을 배울 때, 문득 든 생각이 하나 있었습니다.
이런 거 앞에서 배운 것 같은데?
한번 살펴보겠습니다.
(출처 : 고등학교 수학 2 교과서)
(출처 : 고등학교 기하와 벡터 교과서)
함수의 그래프가 될 수 없는 그래프는 2번과 3번 그래프입니다.
우리는 포물선과 타원, 쌍곡선, 그리고 원을 포함하는 명칭으로 이차곡선이라고 부릅니다!
그러나 이차곡선의 그래프를 떠올려보면, 한 가지 공통점을 발견할 수 있습니다!
함수가 아니구나!
그러면, 함수가 아닌 것들을 어떻게 우리는 해석해야 할까요?
이전에 함수에 대한 얘기만 끝도 없이 배웠던 학생들의 입장에서는 새롭게 생각해봐야하는 문제입니다!
함수가 아닌 것들을 해석하는 방법을 기하와 벡터 교과서에는 먼저 수록하고 있습니다.
이전에 배웠던 개념들과는 많이 다르겠구나! 생각하고 정리하는 것과, 단순히 외우는 것은 다릅니다!
개념을 단원별로 분할해서 외우는 것과, 연결 지으면서 이해하는 것은 반드시 차이를 낳습니다.
연결 짓는 학생의 경우, 기존 개념을 잊을 리가 없습니다!
그 다음 개념을 배우면서 예전 개념 수없이도 써먹었거든요!
하지만, 그렇지 못한 학생들은 다음과 같은 문제점이 발생합니다.
개념을 배웠는데 예전 개념을 까먹어서 다시 공부해야 할 것 같아...
저는 이 사실이 이해가 가지 않는다는 것입니다. 개념 공부를 정확하게 했는데 왜?
그리고 더불어서 저는 이렇게 생각한다는 것입니다.
개념을 공부해서 까먹을 방식이라면, 제대로 공부해서 까먹지 않도록 연결하면 안 될까?
그 연결을 교과서에서는 개념의 증명과, 개념의 논리적인 서술로써 도와주고 있다는 것입니다!
여기까지, 교과서 증명을 하는 이유에 관해서 정리해보았습니다.
많은 줄을 써가면서 얘기를 드렸지만, 사실 별거 없습니다!
개념과 개념의 연결 때문이에요!
이것만 기억하시면서 증명을 공부하시길 바랍니다!
(칼럼에 수록된 그림의 출처는 명시되어 있으며, 이 칼럼은 이원엽이 비영리적인 목적으로 작성하였습니다.)
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맞춰보세요!(5월 학평 기준)
수능 끝나고 깨달았조
ㅋㅋㅋㅋㅋ
적어도 아무런 고민 없는 외움은 절대 나아지지 않습니다.
그걸 전달하는 칼럼이고, 사실 그 이상은 노력이져..
댓글 감사요!
저 문과 미적1도 해주실 수 있나요??
좋은 댓글이십니다.
그런데.. 정말 중요한건 뭐냐면요.
미적1은 전부가 연결입니다.
전부요. 그래서 사람들이 개념 연결이라는 키워드를 말하면 미적 1을 떠올리게 되지요.
그거 쓰려면 한 이틀은 각잡고 미적분 1 교과서랑 노트북만 보고 써야해서...
그럴 각이 나올 수 있으면 좋겠습니다 ㅋㅋㅋ
재수때 수열의 극한을 모르면 급수를 지대로 모르고
함수의 극한 연속을 지대로 모르면 미분 적분을 할 수 없다는 선생님 말씀이 진짜였군요...
당연합니다.
매번 여러 부분을 배우고 갑니다.좋은 칼럼 많이 써 주세요. 감사합니다
??? : 여러분들은~ 공부를~ 안해요~ 안한다고~!
낄낄....
생각해보니 그분 한번 뵙고싶긴 하네여
수리 가형 만점이 목표인 사람입니다. 하지만 지금은 점수가 많이 낮는데요 ㅠㅠ 질문을 하면 미적1을 해야 미적2 공부할 수 있나요?? 다음은 기벡 확통 모두 위의 글 처럼 증명하며 공부해나가면 되나요???
모두 맞습니다.
저런 증명은 풍산자 같은 개념서에도 있지 않나요??
네 맞습니다.
그러나 교과서는 더하거나 덜하는 것 없는 개념설명으로 서술되어있습니다.
그렇기때문에 교과서를 기준으로 설명했습니다.
감사합니다 좋은 글 화이팅 하겠습니다 ㅎㅎ