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일반청의미 [447559] · MS 2013 · 쪽지

2019-02-05 21:24:25
조회수 9,331

간단하게 써보는 미적분 1 칼럼 (2)

게시글 주소: https://orbi.kr/00021275323

연재합니다. 

저번글 : https://orbi.kr/00021234928



1. 미분계수와 접선의 방정식

여러분은 이 단원에서 접선이 어떻게 한 점에서 정의되는지에 대한 의문을 갖고 그 의문을 푸셨어야합니다.


(2)번에서 미분계수의 정의를 쓰려면 반드시 고정된 점 A가 있어야합니다.


그렇지 않으므로, 고정된 점을 만들어주어야합니다. 2f(2)를 더하고 빼주면서 해결합니다.



이 문제에서도 분자에 f(1)을 빼고 더하는 이유는 명백합니다. 


고정된 점 A를 만들어주기 위해서입니다.




접점 하나로 직선을 결정할 수 있다는 것의 의문이 풀렸다면,


접점을 찾는 것이 접선의 방정식을 구하는 것의 핵심임을 이해하실 것입니다.


이렇게, 교과서의 개념은 문제풀이의 방식에 연결됩니다.




2. 평균값의 정리


평균값의 정리는 평균변화율과 미분계수의 관계를 설명하는 정리입니다.


이 정리는 다음 개념에 연결됩니다.



평균값의 정리를 이용해서 함수의 증가, 감소를 정의할 수 있습니다.


이것이 미분을 이용한 그래프 그리기의 시작이 되겠지요.



★평균값의 정리를 기출문제에 적용해봅시다.


2019학년도 수능 수학 가형 20번입니다.


이 문제의 해법은 an+1과 an+3을 -pi 만큼 평행이동 시키고, 

기울기의 대소관계로 부등식을 유도하는 것입니다.


즉,

이 부등식의 참 거짓을 증명하면 됩니다.


우리는 y=tan x 그래프에 대해서, 4개의 주기에 걸쳐있는 점들의 관계를 분석해보지 못했습니다.


그 대신 y=tan x 한 주기의 그래프를 그릴 줄은 알지요. 그래서 평행이동 해주는 것입니다.



이제, AE의 기울기와 CF의 기울기를 비교해주면 되는데, 이것을 어떻게 비교하냐는 것입니다.


모든 점이 한 주기의 y=tan x 그래프 위에 있도록 평행이동 해봅시다.



 y=tan x는 [npi,npi+pi/2]구간에서 아래로 볼록이며 f''(x)>0입니다. (이계도함수 구하셔도 됩니다.)


즉 도함수가 증가합니다. 


평균값의 정리에 의해, AE의 기울기와 같은 미분계수 값을 가지는 점 P가 존재하며


C'F'의 기울기와 같은 미분계수 값을 가지는 점 Q가 존재합니다.



P보다 Q가 x값이 항상 클 수 밖에 없기 때문에, AE의 기울기보다 C'F' 기울기가 더 크며,



라는 식으로 부등식을 만듭니다.



이런 방식으로 평균값의 정리는 평균변화율을 미분계수로 해석하게 해주는 도구입니다.


물론, a1~a4로 계산하셨다면, 기울기의 크기를 직관적으로 보실 수 있겠습니다만,


공부할 때는 이렇게 엄밀하게 증명하시는게 맞습니다.




반응이 좋은 것 같아서, 책 짓는 짬짬이 작성하고 있습니다.


너무 양이 많은 것 같아서, 중간에 짤랐어요.


다음에는 이 예제를 시작으로 연결해보겠습니다.


연결 공부법 보고싶으시면 https://orbi.kr/00020948742 



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