삼차함수의 변곡접선이 원점을 지나면
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임의의 실수 k에 대해 삼차함수랑 kx랑 교점도 한개에요?
당연한거같긴한데 혹시나해서
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삼차함수 자체가 원점 지나면 아닌 듯
오 오랜만이에요
지금 그림같은경우는 성립하겠죠?
2사분면에 있을 때로 볼 때는 볼록 따지면 맞는거 같아요
k가 엄청크면 두점에서만나지않을가요??
저도 그림 그리다보니 그런거같아서 글 올렸어요ㅠ
k기울기 양수 충분히 크면 x>0에서 접점도 있을거고 그러면 교점 3개 되는 지점도 있는 듯 하네요
변곡접선이 원점 지나려면(삼차함수 최고차항 계수 양수 가정)(변곡점 x좌표 a라 함)(변곡접선 기울기 m)
1. 도함수 D<0, 변곡점 위치는 일단 관계 없음. 그러나 x축 위에 있으면 안됨.
- 가능한 경우도 있지만 불가능한 경우도 있음.
2. 도함수 D=0, 변곡점 위치는 x축 위에.
- 모든 경우에서 가능.
3. 도함수 D>0, 변곡점 위치는 제 2,4사분면 위에.(because m<0)
- x>0 또는 x<0에서 양의 기울기를 갖는 접선이 항상 존재하므로 교점이 두개 또는 세개가 되는 지점이 항상 존재. 따라서 모든 경우에서 불가능.
이거 계속 생각해보니까 f(x)에서 변곡접선 빼고나면 무조건 (x-a)^3 형태가 되는것같은데 그럼 무조건 kx랑 교점 한개아닐까요?
아 아니네요 무조건 교점 2~3개 생기는경우가 있네요 도와주셔서 감사해요!