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박주혁t [370907] · MS 2011 (수정됨) · 쪽지

2018-03-30 18:37:13
조회수 12,730

[박주혁&손우혁칼럼] 공간도형에서의 Tip

게시글 주소: https://orbi.kr/00016661445


안녕하세요? 오르비클래스의 박주혁T 입니다^^


원래 이번 칼럼은 러셀 손우혁샘이 쓰셔야하는데요, 약간의 사정으로


제 아이디로 글을 올리게 되었습니다~


매우 알찬 칼럼이므로, 수험생 분들에게 많은 도움이 되기를 바라면서^^


시작합니다~



-----------------------------------------------


안녕하세요. 오르비에서는 처음 만나네요.


메가스터디 러셀 블루 TV 손우혁입니다. 



오르비클래스 박주혁 선생님과 조만간 모의고사를 출간할 계획입니다.


수험생분들에게 도움을 줄수 있는 방향으로, 오르비에서 활동을 시작해보려고 합니다.





학생들에게 제일 소중한 자원은 시간이잖아요.


읽어보는 시간 아깝지 않도록 알찬 내용으로 칼럼들을 구성해보려고 합니다. 


첫 번째 주제로 어떤 것을 다룰까 고민하다가 많은 학생들이 어려워하는 


공간도형 파트를 정말 간단하게 해결하는 팁을 하나 소개하기로 했습니다. 





자, 우선 과거 기출문제를 하나 보도록 할게요.







요즘은 잘 출제되지 않는 순수 공간도형 문제입니다. 





최근의 킬러문항은 대부분 벡터가 곁들여져 있거나 


순수 공간벡터문제가 주를 이루죠. 






그렇지만 이 정도 난이도의 공간도형문제는 최근 문제를 해결하는 기초를 닦는데 


매우 유용하기 때문에 꼭 풀어보아야 할 문제입니다. 





이 문제를 학생들에게 풀려보면 무턱대고 방정식부터 세우는 경우가 많습니다. 


또는 구를 일단 예쁘게(...) 그리려고 노력하는 경우도 많구요. 



예를 들면 다음과 같이. 









그런데 곧 깨닫게 되죠. 


구를 그려야하기 때문에 그리긴 했지만 구를 구성하고 있는 곡선이 


문제를 푸는 데는 아무런 역할도 하지 않는 다는 것을요. 




평면 도형에서의 원과, 공간도형에서의 구는 


제가 수업시간에 많이 하는 표현인데, 한국 영화 등장인물들 중 


이제는 조금 조심스럽게 말해야하는 인물이 되어버린 배우 ‘오달수’와 같은 존재입니다.





많은 블록버스터급 기출문제에 구가 등장하지만 


구가 주인공이 되지는 못합니다. 그렇지만 존재감 하나는 확실하여 임팩트있는 


정보를 남기고는 사라지는 존재가 바로 구입니다. 




원과 구는 딱 세 가지 정보만을 남기고 사라집니다. 


첫 번째, 중심의 위치.
두 번째, 반지름의 길이.
세 번째, 접점.




이 세 가지 정보가 주는 기하적인 성질만 그림에 잘 표시가 되어 있으면 

그 다음 풀이는 직각삼각형 쪽으로 넘어가게 됩니다.



흔히 저는 수능 도형 문제를 숨은 직각삼각형 찾기 게임과 같다고 말합니다.



원이나 구와 관련된 의미 있는 직각삼각형을 찾았으면 그 다음 전략은 

딱 세 가지 이며, 이 세 가지는 우선순위를 두고 관찰해야합니다. 



첫 번째, 삼각형의 닮음비.
두 번째, 피타고라스 정리.
세 번째, 삼각함수.



이러한 관점에서 문제를 보면 대부분의 평면이든 공간이든 


원, 구와 관련된 도형 문제는 거의 대부분의 문제가 비슷한 문제라는 


느낌을 받을 수 있고, 항상 균일한 논리로 도형문제를 풀 수 있게 됩니다. 




그렇다면 어떻게 해야 의미 있는 또는 숨겨진 핵심 직각 삼각형을 


쉽게 찾을 수 있는가? 



처음부터 직각이 직각처럼 보이도록 그림을 그릴 때 

기초공사를 잘해야 합니다. 


가장 중요한 원칙은 ‘직각부터 먼저 그린다!’입니다. 




원이나 구를 먼저 그리는 것이 아니라,


접점의 직각 표시부터 먼저하고 필요한 경우 다른 요소를 그리는 것이죠.



또한 이등변 삼각형이 보이면 길이가 같은 변 두 개를 그리기 전에 

수직 이등분선을 먼저 그리는 것이 좋구요.



대칭성을 가진 그림을 보면 대칭축에 해당하는 선을 

그으면 숨겨진 직각이 등장하겠죠. 



이러한 관점에서 위의 기출문제를 읽고 그림을 다시 한 번 그려봅시다.



 우선 구의 중심을 세 개의 선분으로 표시합니다. 


이 때, xy 평면 상에 그려진 두 개의 선분이 x축, y축과 만나는 점이 구와 x,y축이 

접하는 부분이 되겠죠. 


다음 단계로 z축과 만나는 두 개의 점을 표시해 봅시다. 이 때 z축 상에 그려질 

두 개의 점을 중심과 연결하면 이등변 삼각형이 되죠. 


그렇다면 무엇부터 그리는 것인가. 수직이등분선부터 그리고 그 선의 아래 위의 

대칭적인 부분에 점을 찍어 주는 겁니다.




이와 같이 그림을 그리면 공간도형이기 때문에 

왜곡이 있는 상태임에도 불구하고 직각이 직각으로써 잘 보이게 됩니다. 


필요한 경우 평행사변을 사용하여 직각표시를 해두면 더 좋구요.
이제 각각의 축에 있는 구와의 교점 들을 중심과 연결하면 피타고라스 정리를 

두 번 사용하면 금방 답이 나옵니다.





아래쪽 정사각형의 대각선 길이와 , z축에 걸려있는 직각삼각형의 가로 길이가 8루트2로 같고, 

직각삼각형의 세로 길이가 4이므로 반지름의 길이가 12가 됨을 쉽게 알 수 있죠.


답은 2번입니다^^









또한, 흔 하게 볼 수 있는 정사면체들도 삐딱한 선들을 먼저 그리는 대신 


아래쪽 정삼각형의 꼭지점을 다음과 같이 표시하여 선으로 그리고





이 때 정삼각형도 이등변 삼각형이므로 수직이등분선을 먼저 그립니다. 


그 다음 위쪽 꼭지점의 수선의 발이 아래쪽 정삼각형의 무게 중심이므로 


수선의 발을 먼저 찍고 위쪽으로 수직으로 선을 그어 꼭지점을 표시합니다.




이렇게 네 개의 꼭지점을 서로 수직인 세 개의 선분으로 표시해 두면 딱히 다른 선분을 

그려 넣을 필요도 없게 됩니다. 문제를 읽고 꼭 필요하다고 판단이 드는 선분만 첨가하면 됩니다. 


예를 들어 밑 면의 무게중심을 중심으로 하고 위쪽 변 세 개와 접하는 구가 앞 쪽 정삼각형과 

만나는 원위에 동점 P가 있는 문제라면 다음과 같은 그림을 그리면 되는 거죠. 








숨은그림찾기와 같다는 표현을 썼는데, 


당연히 불필요한 선분들이 적을수록 중요한 정보가 더 잘 보이게 되겠죠. 




개정교육과정이후 출제된 두 번의 29번 문제에서 평가원은 모두 그림을 제시하지 않았습니다.



그 이전에도 감을 잡을 수 있는 정도로만 사용할 수 있도록 제시하고 문제를 풀 땐 

학생스스로 그림을 그려야만 하도록 출제를 하는 경우가 많았죠. 



공간 지각력을 아주 탁월하게 타고 나지 않은 이상 기초 뼈대를 잘 마련하고 

공간도형을 그리는 연습을 해두면 복잡한 공간도형벡터를 해결하게 될 확률이 

어마어마하게 올라가게 됩니다.
 


이번에 소개한 방법 이 외에도 다양한 상황에서 공간도형을 효율적으로 그리는 

방법들이 너무나 많은데 다음 기회에 기초부터 더 상세히 설명해 드리도록 할게요. 


그럼 또다른 알찬 주제를 가지고 다시 만나도록 하죠.


열공하세요!!!




-----------------------------------------------



매우 훌륭한 칼럼이죠? ^^


저랑 우혁샘이랑 같이 준비한 모의고사를,


4.7(토)에 우선 오르비Q에서 선보이려 합니다.



정확한 날짜와 시간은, 다시한번 공지하겠습니다.



수험생 여러분들은 다른 상황들에 휘둘리지 마시고, 


묵묵하게 자기 할일 하시면 됩니다.



화이팅입니다!!




p.s.  칼럼은 저랑 우혁샘이랑 번갈아서 올릴예정이고요,


     강의홍보나 모의고사 홍보의 목적보다는


     진짜로 '도움'이 되는 칼럼을 올리도록


     최선을 다하겠습니다.





p.s.2   제 ETK와 수기분 나머지는 4월에 올라갈것 같습니다.


     요새 다시 몸이 안좋아져서, 촬영이 원활하게 진행되지 않아서요ㅠ


     금방 회복해서 열심히 업로드 하겠습니다~



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박주혁t [370907]

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