[박주혁&손우혁칼럼] 공간도형에서의 Tip
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안녕하세요? 오르비클래스의 박주혁T 입니다^^
원래 이번 칼럼은 러셀 손우혁샘이 쓰셔야하는데요, 약간의 사정으로
제 아이디로 글을 올리게 되었습니다~
매우 알찬 칼럼이므로, 수험생 분들에게 많은 도움이 되기를 바라면서^^
시작합니다~
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안녕하세요. 오르비에서는 처음 만나네요.
메가스터디 러셀 블루 TV 손우혁입니다.
오르비클래스 박주혁 선생님과 조만간 모의고사를 출간할 계획입니다.
수험생분들에게 도움을 줄수 있는 방향으로, 오르비에서 활동을 시작해보려고 합니다.
학생들에게 제일 소중한 자원은 시간이잖아요.
읽어보는 시간 아깝지 않도록 알찬 내용으로 칼럼들을 구성해보려고 합니다.
첫 번째 주제로 어떤 것을 다룰까 고민하다가 많은 학생들이 어려워하는
공간도형 파트를 정말 간단하게 해결하는 팁을 하나 소개하기로 했습니다.
자, 우선 과거 기출문제를 하나 보도록 할게요.
요즘은 잘 출제되지 않는 순수 공간도형 문제입니다.
최근의 킬러문항은 대부분 벡터가 곁들여져 있거나
순수 공간벡터문제가 주를 이루죠.
그렇지만 이 정도 난이도의 공간도형문제는 최근 문제를 해결하는 기초를 닦는데
매우 유용하기 때문에 꼭 풀어보아야 할 문제입니다.
이 문제를 학생들에게 풀려보면 무턱대고 방정식부터 세우는 경우가 많습니다.
또는 구를 일단 예쁘게(...) 그리려고 노력하는 경우도 많구요.
예를 들면 다음과 같이.
그런데 곧 깨닫게 되죠.
구를 그려야하기 때문에 그리긴 했지만 구를 구성하고 있는 곡선이
문제를 푸는 데는 아무런 역할도 하지 않는 다는 것을요.
평면 도형에서의 원과, 공간도형에서의 구는
제가 수업시간에 많이 하는 표현인데, 한국 영화 등장인물들 중
이제는 조금 조심스럽게 말해야하는 인물이 되어버린 배우 ‘오달수’와 같은 존재입니다.
많은 블록버스터급 기출문제에 구가 등장하지만
구가 주인공이 되지는 못합니다. 그렇지만 존재감 하나는 확실하여 임팩트있는
정보를 남기고는 사라지는 존재가 바로 구입니다.
원과 구는 딱 세 가지 정보만을 남기고 사라집니다.
첫 번째, 중심의 위치.
두 번째, 반지름의 길이.
세 번째, 접점.
이 세 가지 정보가 주는 기하적인 성질만 그림에 잘 표시가 되어 있으면
그 다음 풀이는 직각삼각형 쪽으로 넘어가게 됩니다.
흔히 저는 수능 도형 문제를 숨은 직각삼각형 찾기 게임과 같다고 말합니다.
원이나 구와 관련된 의미 있는 직각삼각형을 찾았으면 그 다음 전략은
딱 세 가지 이며, 이 세 가지는 우선순위를 두고 관찰해야합니다.
첫 번째, 삼각형의 닮음비.
두 번째, 피타고라스 정리.
세 번째, 삼각함수.
이러한 관점에서 문제를 보면 대부분의 평면이든 공간이든
원, 구와 관련된 도형 문제는 거의 대부분의 문제가 비슷한 문제라는
느낌을 받을 수 있고, 항상 균일한 논리로 도형문제를 풀 수 있게 됩니다.
그렇다면 어떻게 해야 의미 있는 또는 숨겨진 핵심 직각 삼각형을
쉽게 찾을 수 있는가?
처음부터 직각이 직각처럼 보이도록 그림을 그릴 때
기초공사를 잘해야 합니다.
가장 중요한 원칙은 ‘직각부터 먼저 그린다!’입니다.
원이나 구를 먼저 그리는 것이 아니라,
접점의 직각 표시부터 먼저하고 필요한 경우 다른 요소를 그리는 것이죠.
또한 이등변 삼각형이 보이면 길이가 같은 변 두 개를 그리기 전에
수직 이등분선을 먼저 그리는 것이 좋구요.
대칭성을 가진 그림을 보면 대칭축에 해당하는 선을
그으면 숨겨진 직각이 등장하겠죠.
이러한 관점에서 위의 기출문제를 읽고 그림을 다시 한 번 그려봅시다.
우선 구의 중심을 세 개의 선분으로 표시합니다.
이 때, xy 평면 상에 그려진 두 개의 선분이 x축, y축과 만나는 점이 구와 x,y축이
접하는 부분이 되겠죠.
다음 단계로 z축과 만나는 두 개의 점을 표시해 봅시다. 이 때 z축 상에 그려질
두 개의 점을 중심과 연결하면 이등변 삼각형이 되죠.
그렇다면 무엇부터 그리는 것인가. 수직이등분선부터 그리고 그 선의 아래 위의
대칭적인 부분에 점을 찍어 주는 겁니다.
이와 같이 그림을 그리면 공간도형이기 때문에
왜곡이 있는 상태임에도 불구하고 직각이 직각으로써 잘 보이게 됩니다.
필요한 경우 평행사변을 사용하여 직각표시를 해두면 더 좋구요.
이제 각각의 축에 있는 구와의 교점 들을 중심과 연결하면 피타고라스 정리를
두 번 사용하면 금방 답이 나옵니다.
아래쪽 정사각형의 대각선 길이와 , z축에 걸려있는 직각삼각형의 가로 길이가 8루트2로 같고,
직각삼각형의 세로 길이가 4이므로 반지름의 길이가 12가 됨을 쉽게 알 수 있죠.
답은 2번입니다^^
또한, 흔 하게 볼 수 있는 정사면체들도 삐딱한 선들을 먼저 그리는 대신
아래쪽 정삼각형의 꼭지점을 다음과 같이 표시하여 선으로 그리고
이 때 정삼각형도 이등변 삼각형이므로 수직이등분선을 먼저 그립니다.
그 다음 위쪽 꼭지점의 수선의 발이 아래쪽 정삼각형의 무게 중심이므로
수선의 발을 먼저 찍고 위쪽으로 수직으로 선을 그어 꼭지점을 표시합니다.
이렇게 네 개의 꼭지점을 서로 수직인 세 개의 선분으로 표시해 두면 딱히 다른 선분을
그려 넣을 필요도 없게 됩니다. 문제를 읽고 꼭 필요하다고 판단이 드는 선분만 첨가하면 됩니다.
예를 들어 밑 면의 무게중심을 중심으로 하고 위쪽 변 세 개와 접하는 구가 앞 쪽 정삼각형과
만나는 원위에 동점 P가 있는 문제라면 다음과 같은 그림을 그리면 되는 거죠.
숨은그림찾기와 같다는 표현을 썼는데,
당연히 불필요한 선분들이 적을수록 중요한 정보가 더 잘 보이게 되겠죠.
개정교육과정이후 출제된 두 번의 29번 문제에서 평가원은 모두 그림을 제시하지 않았습니다.
그 이전에도 감을 잡을 수 있는 정도로만 사용할 수 있도록 제시하고 문제를 풀 땐
학생스스로 그림을 그려야만 하도록 출제를 하는 경우가 많았죠.
공간 지각력을 아주 탁월하게 타고 나지 않은 이상 기초 뼈대를 잘 마련하고
공간도형을 그리는 연습을 해두면 복잡한 공간도형벡터를 해결하게 될 확률이
어마어마하게 올라가게 됩니다.
이번에 소개한 방법 이 외에도 다양한 상황에서 공간도형을 효율적으로 그리는
방법들이 너무나 많은데 다음 기회에 기초부터 더 상세히 설명해 드리도록 할게요.
그럼 또다른 알찬 주제를 가지고 다시 만나도록 하죠.
열공하세요!!!
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매우 훌륭한 칼럼이죠? ^^
저랑 우혁샘이랑 같이 준비한 모의고사를,
4.7(토)에 우선 오르비Q에서 선보이려 합니다.
정확한 날짜와 시간은, 다시한번 공지하겠습니다.
수험생 여러분들은 다른 상황들에 휘둘리지 마시고,
묵묵하게 자기 할일 하시면 됩니다.
화이팅입니다!!
p.s. 칼럼은 저랑 우혁샘이랑 번갈아서 올릴예정이고요,
강의홍보나 모의고사 홍보의 목적보다는
진짜로 '도움'이 되는 칼럼을 올리도록
최선을 다하겠습니다.
p.s.2 제 ETK와 수기분 나머지는 4월에 올라갈것 같습니다.
요새 다시 몸이 안좋아져서, 촬영이 원활하게 진행되지 않아서요ㅠ
금방 회복해서 열심히 업로드 하겠습니다~
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선생님 지금시기엔 무슨공부를해야할까요?
개념확인과 기출분석이라고 봅니다.
그리고 양치기(하루에 50문제 이상 꾸준하게)는 필수라고 보고요.
작년에 명작으로 개념다지고 올해 한번 더 다져서 기출은 완벽하다고 생각하는데 개념서를 계속봐야할까요??
그럼 단원별로 개념이 설명이 가능한지 체크해보시고, 잘 되시면 명작 스테이지2를
하시는것도 좋은 선택일것으로 보입니다.
선생님은 작년이든 올해든 친절하십니다.. 감사합니다
친구에게 설명가능한가. 중요정리는 증명해가면서 설명할수 있는가. 가 항상 기본입니다
오달수 같은 ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋ
비유의 신이신듯.. 들을때마다 감탄합니다
이 문제 암산으로 푸는 사람도 있나요?
있어요.
전 무턱대고 방정식 세워서 풀었던거 같은데 머리속으로 그림 먼저 그려서 거의 암산 가능한 수준 계산으로 해결하는 사람도 있더라구요
상황이해만되면 눈풀불가능한숫자도 아니라서 전 첨볼때부터 눈풀한거같아여
몸 조심 하세요 선생님~~ 화이팅
건강이 최고야ㅠ
좋은 글 감사합니다! 건강 잘 챙기세요 선생님..
감사합니다^^
좋네요. 특히 정사면체
갓우혁쌤
갓우혁 맞습니다ㅎㅎ
전 빡머가리라 동영상으로 풀이과정 하나하나 봐가면서 따라가지 않는 이상 못 알아듣겠네요 ㅠ
입체도형을 (특히 구) 전부 그리지 않고, 꼭지점과 선분으로만 필요한 부분만
그려나가는 방식이라고 생각하시면 됩니다^^
혹시 wp받을 수 있을까요?
베르테르 원본 풀다가 너무 힘들어서 ㅠㅠ
쪽지주세요~
혹시 그게 뭔지 알려주실 수 있어요?
공도벡 고난도 N제 인데요,
조만간 개강합니다~
선생님, 지적유희?차원에서 조금씩 베르테르 원본 푸는데 많이 힘드네요.ㅠ 혹시 저도 부탁드려도 될까요?
제가 예전에 올린버전도, 지금 준비하고 있는 버전도 모두 인강 해설용 이라서 해설은 없어요ㅠ 나중에 강의 오픈하면 들어주시면 감사하겠습니다~
양치기는 주로 어떤문제 추천하시나요
우선 EBS가 기본인것 같고요, 서점에 가면 N제 형식의 준킬러 문제집도 나쁘지 않다고 봅니다~
제가 생각하고 있던 것과 거의 일치하는듯요.덕분에 제가 문제를 보는 관점에 확신을 얻고 갑니다...!
넵 잘하고 계시네요^^
현재 목동러셀 다니는 학생인데 문과에서 이과 전과한 학생인데 쌤 수업 듣기엔 너무 따라가기에 힘들겠죠?
쪽지주세요 ㅋ 상담해야죠
이문제난이도가 요새로치면 몇번급인가요?? 예전에한번푼거같은데 머릿속으로 그림그리니깐 풀려서 당황;;
4점인데 쉬운4점 아니면 3점 정도라 생각해요ㅎ
이런방식으로 사고하는데 제법 많은 시행착오를 겪었는데 칼럼을 써주시니 확신도 들고 좋네요 ㅎㅎ
선생님 명작으로 개념이랑 vip 문제 회독중인데요 여기서 기출양치기가 더 필요할까요??
아니면 준킬러문제집을 하나 살까요
명작에 주요기출이 다 있는것 같으니까요,
ebs 를 비롯한 준킬러문제집을 고려하시는걸
추천드립니다^^
답변감사드립니다!!
문과생인데 궁금해서 들어왔다 문송하고 나갑니다...
문과 칼럼도 아마 올라올거에요^^
나형도 모의고사가 나오길 바라겠습니다 ㅎㅎ
칼럼은 문과수험생도 도움이 되는것을
쓸 계획인데요, 모의고사는 아직 나형은
미정이라서요ㅠ 확정되면 공지하겠습니다~
하루에 양치기50문제라고하셨는데 어느문제집이있나요? 마땅한게없어서...ㅜ
ebs 수특 수완 제외한 나머지 라인업 추천하고요
서점에 있는 메이저출판사의 N제도 추천합니다.
서초메가에서 수업들었었어요 손우혁 샘 ㅇㅅㅇ..
네 반갑습니다^^
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