간단한 자작 심층면접 문제 (수정)
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실수 α가
를 만족한다고 하자.
(1) n = 1, 2, 3, … 에 대해 수열 a(n)을 a(n) = cos(nα) 로 정의하자. 이때 다음 점화식이 성립함을 보여라.
(2) 수열 a(n)을
와 같이 적었을 때, p(n)은 항상 정수이고, 3의 배수가 아님을 보여라.
(3) α가 원주율 π의 유리수배라고 가정하면, 적당한 자연수 n에 대해 a(n) = 1 임을 보여라.
(4) α가 π의 유리수배가 아님을 보여라.
를 만족한다고 하자.
(1) n = 1, 2, 3, … 에 대해 수열 a(n)을 a(n) = cos(nα) 로 정의하자. 이때 다음 점화식이 성립함을 보여라.
(2) 수열 a(n)을
와 같이 적었을 때, p(n)은 항상 정수이고, 3의 배수가 아님을 보여라.
(3) α가 원주율 π의 유리수배라고 가정하면, 적당한 자연수 n에 대해 a(n) = 1 임을 보여라.
(4) α가 π의 유리수배가 아님을 보여라.
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수열 Pn 의 수는 모두 소수인가요??
아뇨, p(n)은 오직 p(n) = 3^n a(n) 이라는 관계에 의해 정의되는 수열일 뿐이며, 실제로 p(5) = 329 = 7×47 입니다. (그리고 상당 수의 수학 서적에서 유리수를 관용적으로 p/q 로 두는 관례를 따른 것이기도 하고요.)
아하 감사합니다. 329가 소수인줄 알았네요..;
풀면서 공부 많이하고 가네요 ㅎㅎ
(1)a(n+2)+a(n)=cos(n+2)α + cosnα = 2cosαcos(n+1)α = 2cos(n+1)α /3 = 2a(n+1) /3(합차를 곱으로)
(2)양변에 3^(n+2)를 곱하면
p(n+2)+9p(n)=2p(n+1)이다.
따라서 p(n+2)=2p(n+1)-9p(n)
임의의 자연수 k에 대하여 p(2k-1)=3m+1, p(2k)=3m+2 (m은 정수) 의 꼴임을 증명하자
p(1)=1=3*0+1, p(2)=-7=3(-3)+2 이므로 k=1일때 성립한다.
k=n일때 성립한다고 가정하자
p(2n+1)=2(3m+2)-9(3m+1)=-21m-5=3(-7m-2)+1
p(2n+2)=2(-21m-5)-9(3m+2)=-69m-28=3(-23m-10)+2
이므로 k=n+1일때도 성립한다
따라서 모든 p(n)은 3의 배수가 아니다.
(3)α=pπ/q 라 하자 (p는 정수, q는 자연수)
2qα=2pπ 이므로 cos(2qα)=cos(2pπ)이다.
좌변은 a(2q)이고 (2q는 자연수)
우변은 1이다 (2p는 정수)
(4) α가 π의 유리수배라 가정하면 α=pπ/q 라 하자 (p는 정수, q는 자연수)
a(2q)=1=p(2q)/3^2q인데 p(2q)=3m+2의 꼴이므로 모순이다. 따라서 α가 π의 유리수배가 아니다.
완벽합니다!