(스압) 평가원은 공간도형문제를 어떻게 만들었나?

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정사영이 처음나왔을때 수학을 연구하던사람들은 다양한 도형을 정사영 시켜봤을거에요.

직선,삼각형,사각형,오각형같은 평면도형도 정사영시켜보고 구,원뿔,원기둥,정사면체,직육면체,구의 단면과 같은

공간도형도 정사영을 시켜봤겠죠. 별의별 도형을 다 정사영시켜봤겠죠?

그중에서 원기둥을 예로들어보죠.

그림속의 원기둥을 수학의 원기둥으로 생각하지마시고

아래그림처럼 현실에 존재하는 어떤 원통형의 통으로 생각해보세요.

이러한 원통을 정사영시킬건데요. 이 원통을 위의 그림처럼

지표면과 30° 의 각을 이루도록 놓은다음에 아래로 정사영시키면

넓이가 하나로 정해질까여 안정해질까요?

현실세계에 존재하는 원통은 당연히 밑면의 반지름의 길이도 하나로 뭔가 정해져있을거고

높이도 하나로 정해져있을거잖아요? 물론 그값이 자연수처럼 깔끔한값이 아니라 근사값으로

나타날것이고 흠집이나거나 움푹페인곳은 미세하게 다를수있기때문에 수학처럼 완벽하진 않겠죠.

하지만 대략적으로 밑면의 반지름과 높이등등 모든 물리적인 상태가 이미 하나로 결정되있는 상태기때문에

각도만 정해준다면 그림자의 넓이는 반드시 뭔가 하나로 결정될거에요. 예를들어서, 밑면의 지름이 4이고

높이가 10이고 원기둥과 지표면이 이루는각이 30° 라했을때 정사영의 넓이는 분명 어떻게든 구해질거에요.

아래그림과 같이 구하면돼요.

이런식으로 수학자들은 아주 많은 도형에 대해서 특정한각도 30° ,45° ,60°,20° 등등을 정한다음에

정사영의 넓이를 구하는 시도를 아주 많이 해봤을거에요. 이런식으로 원기둥의 반지름과 높이,각도를

바꿔가면서 수없이 많은 시도를 하다보면

2011학년도 수능 11번문제처럼 정사영이 아래원판의 중심을 관통하는 경우도 나오게 되는거죠.

2011학년도 수능 11번에 대한 이미지 검색결과

그렇다면 당연히 이런 삼각형도 정사영 시켜봤겠죠?

제가 방금 설명드렸듯이, 어떤 대상을 정사영시킬때는

그 대상의 모든 물리적인 상태를 하나로 정해야된다고 했잖아요? 그래야 그림자의 넓이가 하나로 정해지니깐요.

그렇다면 삼각형을 세상에 단하나밖에없는 삼각형으로 만들어야겠죠? 그러기위해선

삼각형의 세변의 길이를 하나로 정해야죠. 세변의 길이가 각각정해져있는 삼각형은 유일하니깐요.

넓이로는 삼각형을 유일하게 만들수없어요. 아래그림에서 세개의 삼각형은

넓이는 같지만 전혀 다른삼각형이죠.

그러면 예를들어서 AC=4,AB=5,BC=6 인 삼각형을 선택해봅시다.

이 삼각형은 모든 물리적인 상태가 하나로 결정된 유일한 삼각형이죠?

넓이도 물론 하나로 정해져있겠죠.

그렇다면 정사영의 넓이가 하나로 결정되기위해선 또 뭐가 정해져야할까요?

바로 AA',BB',CC'의 길이에요. 저 3개의 길이에 따라서 삼각형과 밑의 평면이 이루는 각이 달라지는거에요.

저 3개의 값이 하나로 결정되면 삼각형과 밑의평면이 이루는각이 하나로 정해져요.

예를들어서,CC'=1,BB'=4,AA'=2 라고 정하면 (물론 이값은 뭘로 잡든 상관이없어요.)

이 삼각형 ABC와 밑의 평면이 이루는각은 무조건 하나로 정해지잖아요?

그럼 이제 정사영의 넓이를 하나로 결정지었으니까 정사영넓이를 구하면돼요. 정사영공식 S'=S*cosΘ를

이용하기위해 삼각형과 밑의 평면이 이루는 각의 cos값을 구해야돼요.

저 상황을 좀 간단히 표현하면 위의 그림과 같은데요. 이상황에서 삼각형 ABC와 평면알파가 이루는각의 cos값을

구하면돼요. 교선이 없으니까 평면알파를 위로 들어올려서 교선을 만들어야되잖아요? 선분BC위의 점중에서

평면알파까지의 거리가 1인점을 P라두고 P의 정사영을 P'이라 했을때 PP'과 BB'의 비율이 1대3이니까

PC와 PB의 비율은 1대2겠죠? 이삼각형의 넓이는 하나로정해져있으므로 삼각형 ABP의 넓이도 구할수있어요.

PA의 길이도 하나로 결정이 되겠죠? 삼수선을 쓰기위해 점B에서 교선에 내린수선의발을 D라할때

삼각형의 넓이 공식을 쓰면 BD의 길이를 구할수있어요. 그럼 이제 cos값을 구할수있고 정사영의 넓이도

구할수있네요. 이걸 소재로 만든문제가 바로

2012학년도 9월모의고사 29번문제에요.

사실 이문제의 조건들은 마치 얼핏보면 출제자가

정교하게 짜맞춰놓은것처럼 보이지만 사실은 출제자가 짜맞춰놓은게아니라 수학자체에

이미 짜맞춰져 있는거같아요.

물론 굳이 짜맞추는식으로 만들수도있겠지만요.

그렇기때문에 정말 복잡하게 짜맞춰놓은거같은 문제는 사실 출제자가 짜맞춰놓은게아니라

이런 수학적인 "문제해결" 과정을 거치면서 자연스럽게 나오는걸수도있어요.

여기서 삼각형을 이등변삼각형으로 선택하고 높이들을 등차수열로 설정해놓고
(이등변삼각형을 정사영시키는 시도를 하는건 필연이겠지만 하필 높이를 등차수열로 해놓은건 우연에 가깝다고 생각하네요)

정사영을 시도하면

이 문제가 되는거구요.