이항정리 2문제 힌트좀...ㅠ
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(10C0)² + (10C1)² + ... + (10C10)² = ?
X = (10C0)(10C10) + (10C1)(10C9) + ... (10C10)(10C0) 이렇게 이쁘게 바꿔봤는데 암것도 안보이고... ㅠ
이거 힌트좀요 ㅠㅠ
글구 제 발견적 추론에 의하면
4nC0 - 4nC2 + 4nC4 .... -4nC(4n-2) + 4nC4n = -4ⁿ 이게 나오는데 이거 증명하려니까 잘 안되요...
4의배수끼리, 4의배수가 아닌 2의배수끼리 묶어서 X,Y로 놓고 풀어봤는데 제자리걸음일뿐이고... ㅠ
혹시 4nC0 + 4nC4 + 4nC8 + ... + 4nC4n 이거도 구할 수 있나요??
있다면 힌트좀!!
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10명의 집단이 처음에 0명뽑고 두번째에 0명뽑고, 처음에 1명뽑고 두번째에 1명뽑고....... ...............처음에 10명뽑고 두번째에 10명뽑는 경우를 전부 세면
4의 10승아님? 한명당 경우가 4가지니까
이게 무슨말인지 모르겠오요 ㅠㅠ
두번째로 뽑힐 때 O or X
로 한사람에게 가능한 경우는 4가지이고
10명이 있으니까 4^10
10C0 + ..10Ck x^k.. +10C10x^10
=10C10 + .. 10C10-k x^m + 10C^0x^10
ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ
위아래 식곱하면 제곱이니까 x^10항만 뽑아주면
10C10*10C10*x^10 + 10C9*10C9*x^10.. 10C0*10C0*x^10
= [(1+x)^20의 x^10항의 계수]
x=1넣으면 구할수있습니다.
(1+x)^10*(1+x)^10=(1+x)^20
에서 양쪽 계수비교를 합니다(x^10의 계수를 비교합니다) 그럼 구하는 값은 20C10이 되네여
(i+1)^4n = 4nC0+시그마 k=1to n i^4(4nC4k)+i^3(4nC4k-1)+i^2(4nC4k-2)+i^1(4nC4k-3)
= a + bi꼴인데
(i+1)^4n=(-4)^nㅡ복소수계산하면 나옴
이므로
b=0(실수에대해 닫힘조건)a=(-4)^n
위에서 구한 i에 대한 시그마 합을 나타내면
4nC0 - 4nC2... 4nC4n + i(블라블라) = ㅡ블라블라 항은 0이므로 소거
= (-4)^n임.