문제 두 개 질문 부탁드립니다.

Question

문과, 수리 부족한 학생입니다.

1. x ≥0에서 정의된 함수 f(x)=4x^3과 그 역함수 g(x)에 대하여 정적분 ∫(위1 아래0) f(x)dx + ∫(위4 아래0) g(x)dx 는 무엇인가?

의 문제인데 답은 4입니다.

제가 궁금한 것은, 위의 함수 f(X)를 그래프 상에 그렸을 때 g(x)와 y=x에서 대칭이기에 양쪽으로 동일하게 포함되는 넓이가 나오는데요. 그 두 개가 같은 값의 넓이라는 것은 알겠는데, 해설지에서는 문제의 답이 (0,0) (1,0) (1,4) (0,4)로 둘러싸인 직사각형의 넓이와 같다고 하는데 제가 그걸 이해 못하겠습니다.  왜 그런 건가요?


2. lim  x^2 [1/2x^2]  은 무엇인가?
  x->0 
가 질문인데요, 답은 1입니다.

이것을 푸는 과정에서,  x^2 [1/2x^2] 이 부분에서 샌드위치 공식을 써서 풀던데 저는 그 과정이 이해가 안 되네요.


답변 꼭 부탁드립니다.

undisputed · Accepted Answer

1번 문제를 직관적으로 보면,
∫(위1 아래0) f(x)dx 의 면적을 정확히 표시해두시고, 
∫(위4 아래0) g(x)dx 의 면적도 정확히 표시해보시면,
∫(위4 아래0) g(x)dx 가 가리키는 부분은 x=f(y)를 0부터 4까지 적분한 부분의 넓이와 똑같죠. (역함수이므로)
y=f(x) 를 0부터 1까지 적분한 부분과 x=f(y)를 0부터 4까지 적분한 부분을 더해보시면 직사각형이 나옵니다.

문제 두 개 질문 부탁드립니다.

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