수학 질문 두 개(지수) 부탁드립니다.
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1.
임의의 실수 x에 대하여 부등식 3^(x+1) + 2 x 3^{(x+2)/2} + a ≥ 0이 성립하도록 하는 실수 a 의 최솟값은?
2.
-2≤x≤2, -2≤x≤2, a × 2^(-x) ≤ 2^(-2x+1) ≤ b × 8^(-x)
일 때 b-a의 최솟값은?
답변해주시면 감사하겠습니다.
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1번은 준식을 3^(x/2)를 문자 t로 치환해주면(단, t>0) 3t^2+6t+a가 됩니다. 그것이 0이상이 되게 하는 조건을 묻는 문제인데 t>0이므로 t=0에서의 함숫값이 0이상이면 준식이 0이상이 되게 됩니다.
따라서 a가 0이상일때 t=0에서의 함숫값이 0이상이 되고 a의 최솟값을 묻고 있으므로 a=0이 됩니다.
2번은 부등식을 두 부분으로 나눠주면
첫번째 부분에서 a는 2^(1-x)이하가 됩니다. 따라서 2^(1-x)의 범위가 1/2이상 8이하이므로 a는 8이하가 됩니다.
또한 b는 2^(x+1)이상이 되므로 같은 방식으로 b는 1/2이상이 됩니다.
따라서 좌표평면에 x축부분을 a, y축부분을 b라고 하여서 a가 8이하, b가 1/2이상이 되는 영역을 찾은 후
b-a=k라고 놓아서 b-a와 같은 값을 갖는 b=a+k 라는 직선의 b절편 k가 최소가 되는 지점을 구하면
그 때에 a와 b는 각각 8,1/2가 됩니다.
따라서 b-a=-15/2
답변 감사합니다.!
찬찬히 보며 이해하겠습니다 ^_^
피드백 늦어 좀 그렇긴 한데
제가 답지를 체크했더니 15/2가 나오더라구요. 음. 님의 방식을 저도 찬찬히 보면서 이해가 되었는데 답지에서는
a와 b의 값을 정반대로 해석하더군요. 쎈수학인데, 문제지가 잘못 된 걸까요..?