수학 질문
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함수 f(x)=e^x tanx에 대하여
도함수 f'(x)=e^x{(tanx)^2+tanx+1}는 항상 0보다 큽니다
e^x>0이고, {(tanx)^2+tanx+1}도 0보다 크므로 곱하면 0보다 큰 거 맞죠?
그렇다면 함수 f(x)=e^x tanx는 실수 전체에서 증가하는 함수이겠구요
따라서 f(0)=0이므로 x>0인 모든 구간에서 f(x)>0이여야할텐데, 그렇지 않죠...
f(x)=e^x tanx에서 e^x야 항상 0보다 크지만, tanx는 0보다 작은 구간도 얼마든지 있으므로
f(x)=e^x tanx의 부호는 x>0인 구간에서도 일정하지 않습니다
이것은 어떻게 이해해야할까요...?
함수 f(x)가 불연속인 점 x=파이/2, x=3파이/2...등등에 비밀이 있을거 같긴 한데,
그 점에서도 f'(x)의 값은 양의 무한대로 발산하기는 하지만 음인 경우는 없기 때문에
적어도 함수 f(x)가 감소해서 x>0일 때 음이 되는 경우는 없어야 할 것 같습니다만...
간단해보이는데 잘 모르겠군요...
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걍 점근선인 부분빼고 각각의 부분에서 다증가하는거겟죠.. ㅎ
흠 그렇군요..
그런데 또 궁금한것이 함수 f(x) 점근선에서 함수의 좌극한은 양의 무한대로, 우극한은 음의 무한대로 발산하는데요
함수 f(x)가 점근선을 가질 때 그 부근에서 도함수의 값이 양의 무한대로 발산하게 되면서
실수로 확정되지 않긴 하지만 어째뜬 0보다 작은 경우가 없는데
이렇게 양의 무한대에서 음의무한대로 훅 꺼지게되는 것은 어떻게 이해하면 좋을까요...?
고교과정에서 이해할 수 없는 부분인가요...?
tan x는 x=nπ+π/2(n은 정수)에서 불연속이므로
f(x)는 실수 전체에서 증가하는 함수가 아니라, x≠nπ+π/2인 범위에서 증가하는 함수에요.
예를 들어, x가 [0, π/2)인 구간에서는 f(x)가 0에서 ∞로 증가하고, x=π/2인 곳에서는 끊긴 후에 x가 (π/2,π]인 구간에서는 f(x)가 -∞에서 0으로 증가해요.
f'(x)>0인 모든 구간에서 함수 f(x)는 증가하지 않나여...? x=nπ+π/2일 때도 함수 f(x)의 도함수가 발산하기는 하지만 0보다 작지 않으므로
계속 증가해야할 거 같은데 실제로는 그렇지 않으니ㅜㅜ
제가 위에 난만한님께 달았던 댓글... 이거에 대한 설명도 해주셨으면 감사하겠습니다
x=nπ+π/2(n은 정수)일 때에는 tan x의 값을 정의할 수 없어요.
질문자님께서는 x=nπ+π/2일 때 f(x)의 도함수가 발산한다고 생각하는 이유가 tan x가 양의 무한대로 발산하기 때문에 그렇다고 생각하시는 것 같은데, x=nπ+π/2일 때에 tan x의 좌극한은 ∞이고, 우극한은 -∞이어서 좌극한과 우극한의 값이 같지 않으므로 연속이 아닌 거에요. 따라서 x=nπ+π/2일 때에 함수 f(x)의 도함수는 발산하는 것이 아니라 값을 정할 수 없는 거에요.
네 점근선에 함수 f(x)가 미분가능하지 않기 때문이었군요... 말씀 잘 들었습니다