정적분- 입체부피 질문이요.. 돠주세용 괴수님들 도와주세요
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입체의 부피부분에서 반지름의 길이가 r인 직원기둥을 밑명의 중심을 지나고 밑면과 Θ의 각을 이루는 평면으로
자를때, 작은것의 부피 -> V= 2/3 r^3 tanΘ 있잖아요. 책에는 공식만써서 풀거나.. 좌표에다 넣거나 둘중 하나던데..
제가 한번 유도해봤는데요. 계속 1/3 r^3 tanΘ 라고 나오네요. 어떻게 했냐면요..ㅠㅠ
그 작은 도형을 자른 평면a와 수직인 평면b로 한번 더 잘랐을때 나오는 임이의 단면의 넓이를 1/2 x^2 tanΘ라고 했는데요.. 여기서 x의 범위는 [0,r]
이 단면을 정적분하면 1/6 r^3 tanΘ가 나오잖아용.. 근데 그게 똑같은게 하나 더 있으니까 x2하면 1/3 r^3 tanΘ인데..
공식은 2/3 r^3 tanΘ이구요.. 아 왜죠 ㅠ
그림좀 봐주세요! 첨부파일..
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2곱한건 x가 0에서 부터 r 까지 변하고 그게 두개있어서..인데 애초에 저렇게 유도한것 자체가 잘못된건가요?..
그림 하나도모르겟음.. ㅋㅋ ㅠㅠ
그림첨부제대로 하려고하는데 어떻게 하는지 몰라서 걍... 그림판에 그렸는데..
저게 직원기둥을 밑면의 중식을 지나고 밑면과 Θ의 각을 이루는 평면으로 자를때, 작은 도형이에요
아.. 지금 저 그림으로 추론할 수 있는 건 중심에서 잘라 놓은 곳까지를 보통 x로 잡고 거기서 피타고라스로 밑변 길이를 구하죠
근데 그냥 밑변 길이를 x로 잡으셔서 그런듯요
밑면의 길이를 x로 잡은게 왜 잘못되었는지 그걸 모르겟네요. 캐스커님 설명덕분에 이해는 했는데 .. 저걸 현의 호의길이는 비례하지 않아서 생기는 현상이라고 ㄷ봐야되나.. 암튼 공식도 완전 잘못된게 아니라 값자체가 두배차이로 밖에 안나와서.. 뭔가 어디서 잘못되긴 잘못됫는데 ..;
x변수를 잘못잡으신거아닌가요?
원점으로부터의 거리를 x로 잡고 삼각형 넓이를 계산했던거같은데
좌표 안쓰고 그냥은 못푸나요? 개념원리에도 원점에서 어떻게 하던데..
저 x가 밑면의 테두리에서 지름에 내린 수선의 길이라고 보면되는데.. x가 0부터 r까지 변하고.. 그걸 적분한게 두개 있으니까..
원점으로부터의 거리를x라고 잡으면 님이 x라고 잡으신 삼각형의 밑변의 길이는 루트r^2 -x^2이 나와요
그래서 삼각형의 넓이는 1/2(r^2-x^2)tanΘ 가 되요
이걸 0부터 r까지 정적분하면 1/3r^2tanΘ가 나오고 2배하면 2/3r^2tanΘ가 나오네여
근데 왜 다를까요 갑자기 궁금해짐
아. 그냥 원 테두리에서 지름까지 그은 수선의 길이를 x라고 놓으면 안되는거였구나.. 근데 그 이유를 모르겟네요 흐엉 ㅠ
작년에 바이블 풀때 이것때문에 왜 절반밖에 안나오는지 며칠동안 머리싸매고 나서 깨달음을 얻었엇는데.. 휴 기억이 안나네요
님이 잡으신 x가 곡면을 타고 가서 그랬던거 같은데.. 으엉 기억이 잘 안나요 죄송합니담ㅠㅠ
네.. 혹시 x를 연장해서 맞은편 테두리까지 그으면 현이 되는데 현은 원에서 각에 비례하지 않아서 생기는 일종의 오류라고 해야되나..(변화율이 달라서인가;) 제추측인데 아무튼
직관적으로 딱 이해가 안가니까 미치겠네요. .이것때매 두시간째 다른문제도 못풀고;; 걍넘기면 찝찝하고 ㅠ
x축을 설정하세요 .. 자른단면이랑 "수직"이 되도록 이요.. ㅎㅎ x를 막무가내로 잡으셨네요
x축을 저 원의 지름이라고 놓으면..
음 제가 풀이한것도 언뜻보면 오류가 없어보이는데 분명히 어딘가 오류가있어요.. 수직으로 그은것도 맞는데..; 왜 이런오류가 생기는지 ㅠ;
지름이 x축이면.. 님이잡은길이는 x가 아니고 위엣분말대로 r^2 - x^2 이 되야하죠..
밑면이 원이아닌 정사각형(마름모)모양이였다면 님처럼하는게 맞지만요..
x축을 안잡고 그냥 제가 임의로 x를 저렇게 놓으면 거기서 오류가 생기는구나.; 근데 저게 오류라고 느껴지지 않을만큼 풀이할 때 자연스러웠는데
혼란스럽네요 !..;
님이잡은 x에대해서 delta x 를 생각해보세요
도저히 미세부피의 높이가 못되지요....
아 ㅡㅡ; 내가 바보였구나. 이제 알겠네요 delta x가 미세부피의 높이가 되도록 x를 설정해야되는데 희안하게 설정해놓으니까..
정적분 정의를 생각안하고 푸니까 이렇게 되네요 고맙습니다 ㅠㅠ
그러니 x축을 "자른단면"에 "수직"이 되도록 설정해야합니다..
넵! 근데 이게; 일종의 유형인가요. 틀린 이유는 알겠는데 직관적으로 깨닫기는 아직 좀 시간이 ..
님이 구하신 부피는 아마
밑변이 직각삼각형인 직각삼각뿔(?)인거 같아요
x의 변화율때문에 문제가 생긴거같은데
첨부터 다시 고민해봐야겠어요 머릿속으로 그려가면서 흑흑
난만한님 말씀처럼
부피라는게 넓이에다가 delta x를 곱해서 좌르르르륵 합해버려야되는건데
그렇게 x를 잡아버리면 불가능하잖아염 님이 자르신 단면인 직각삼각형에 수직이 되도록 x를 잡는게 맞는거같아요
네 ㅠ 정적분의 정의가 넓이에다가 Δx곱해서 좍 더하는건데;;
아 이제 알겠네요. 근데 계속 나처럼 x를 두면 어떻게하면 공식을 바로 할까라는생각에 사로잡히는..
정의가 중요하군요.. 희안하게 x를 두면 Δx를 뭘로둘지 모르니까..