정적분과시그마의차이

시그마는 가로가 1인 직사각형들의 합이고 시그마는 x축과 그래프 사이 면적

시그마는 선분 유한개를 더해서 선분들의 길이의 합을 구하는거고
정적분은 평면도형을 선분 무한개로 나눠서 선분들의 길이로 도형의 넓이를 계산하는것

그게미치겠는게님말이맞고알아들었어요저도 근데왜 그게 1부터5까지더한정적분값이 시그마값보다작아지는이유에요?

수학에서 길이나 넓이 구할때 단위가 생략되어 그렇지 단위를 미터로 표시하면
시그마 (n=1부터 5까지) x m = 15m
인테그랄 (1m부터 5m까지) x dx m = [1/2x^2](1m ~ 5m) m = 1/2 (25m-1m)m = 12m^2 가 됨.

즉 애초에 15랑 12는 단위가 달라서 대소비교가 불가능함.

오확실히이해했는데 근데문제풀때 x축아래있는건 음수라서넓이자체로정의자체가불가능한거아니에요? ㅠㅠ그나저나진심감사합니다.

함숫값들이 전부 양수면 넓이와 똑같기 때문에 쉽게 이해하기 위해 넓이라고 하기도 하는데 정적분 정의는 엄밀히 따지면 함숫값(y값) 들의 합이어서 그래요.

그러니까 1부터5사이에모든x에대한y값들을더한건 12제곱미터이고
1부터5까지 정수값만더한것은 15미터라단위자체가 정적분이더크단얘기이신가요?

그러면 3차원상에서 합을구하면그단위는3제곱미터가되는건가요?와진짜그나저나진짜너무너무감사합니다. ㅠㅠㅠ

제곱미터와 미터 중 어느게 더 큰지는 몰라요. 길이와 넓이를 비교하라고 하면 할 수 없듯이.

그리고 좌표공간(3차원)에서 정적분을 쓰는 사례는 저는 살면서 본 적도 없고 안쓰인다고 알고 있는데, 개정 전 교육과정에 있었던 '회전체의 부피' 에서는 좌표평면(2차원)에서 함숫값을 반지름으로 보고 넓이(πr^2)를 정적분해서 부피를 구하는 방식이 있었습니다.

마지막으로질문하겠습니다. 정적분은y값을더하는건데 1부터5사이에모든실수를다더하면무한대로발산할수있지않나생각해볼수있지않나요?12에수렴할수있는이유가궁금합니다.

길이 무한개 더해서 넓이. 위에부터 다시 읽어보세요

위에부터다시읽어봤어요 1부터5사이에모든실수를다더했는데 어떻게 발산하지않고수렴할수있게되는건가요?

선분 길이를 다 더해서 총 길이를 구하는게 아니라 선분을 옆으로 무한히 쌓아서 평면도형을 만드는거잖아요;

이걸 넓이 측면에서만 보면 넓이가 0으로 수렴하는 선분 무한개를 더해서 넓이가 실수가 되는거고요.

Y값을촘촘히더한다는의미가넓이가0에수렴하는선분들을 무수히많이더하면0보다어마무시하게작은값들이모여넓이를이룬다는말인가요

애초에 정의가 다른 두 식의 결과가 왜 다르냐고 물어보시면..ㅜㅜ
음..시그마를 적분틱하게 해석해보면
정적분이 x좌표를 무한히 잘라 만든 사각형을 더한거라면
시그마는 x좌표를 1씩 잘라 만든 사각형을 더한거예요.
사각형의 밑변 하나가 너무 기니까 각 사각형의 윗부분이 y=x 그래프 위로 튀어나오겠죠.
그 부분만큼이 두 값의 차가 됩니다.

시그마로더한걸 리미트로 쪼개는거 그게 정적분

그걸몰라서여쭈는게아니에요