Strange Integral
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이상적분 참거짓 판단 문제임당.
솔직히 대1 1학기 미적분학 수업만 듣고도 풀 순 있다고 봅니당. 해석학까진 필요 없구 아마도 다변수 함수의 연속성 판단까지만 이해할 수 있다면..? 풀 수 있어용.
심심하면 풀어봐여
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이 명제는 틀렸습니당! 직관이 맞아요g(x) 이상적분이 무한대로 발산하니까
실수인 0과의 곱셈이란 것 자체를 할 수 없을 거 같아서(정의되지 않아서) 거짓인 것 같은데
정확히는 모르겠네요
그렇게 볼 수도 있고 저 구조 자체를 다변수 함수 구조로 본다면 F(t, s) = int {1, t} f(x)dx × int {3, s} g(x)dx로부터 lim (t, s)->(inf, inf) [int {1, t} f(x)dx × int {3, s} g(x)dx]가 존재해야 한다고 볼 수 있는데, 여기서 t와 s가 얼마나 빠르게 발산하던간에 저 극한값이 수렴해야 성립해요. 그럼 성립하지 않음을 증명하는 반례는 어떤 t와 s에 대하여 발산함을 보이면 되고, 가장 쉬운 경우는 t=s=R일 때(계산 편의성), 저 극한이 발산하면 되므로 lim R->inf [int {1, R} f(x)dx × int {3, R} g(x)dx]가 발산하고록 하는 두 함수 f(x)와 g(x)를 설정하면 됩니당.
아니면 이건 좀 더 까다로운 관점이긴 한데, f(x)나 g(x)의 태생적인 수렴이나 발산 속도의 체급차이가 크더라도 t와 s의 속도를 조절한다면 결국 발산합니당. 즉 무수히 많은 t와 s의 관계식에서 수렴하지만 마찬가지로 무수히 많은 t와 s의 관계식에서 발산하는 셈이져
아 이변수함수의 극한으로 볼 수 있었군요