2027 6평 수학 미적분 후기 및 해설

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안녕하세요 오르비에서 문제도 만들고 후기/해설도 올리고 이것저것 하는 '구름정원'입니다. 오늘 있었던 6월 모의평가를 함께 보고자 합니다. 이번 시험 같은 경우에는 전체적으로 평가원의 깜찍(?)한 시도를 느낄 수 있는 시험이었다고 생각합니다. 새로운 형태의 발문, 문제이지만, 깔끔한 느낌을 잘 냈다고 생각합니다. 다만 난이도는 그리 높지 않았는데, 제가 물론 몇 몇 문제들이 어떤 형태로 출제되었는지 슥 보고 풀긴 했습니다만, 40분 정도 소요되었습니다. 준킬러가 빡빡한 편이었던 것도 아닌데, 그렇다고 킬러가 무지 어려운 형태도 아니었어서 그런 것 같습니다. 일부 문항을 제외하고는 정답률이 꽤나 높아, 만점 표준점수가 비교적 낮은 시험이 될 것 같습니다. 13, 14, 15, 21, 22, 28, 29, 30번 문항을 함께 살펴보고자 합니다.

13번은 합답형 문제였습니다. 작년에는 항상 11번에 속도 함수를 주제로한 합답형 문제가 출제되었었는데, 올해는 그 기조를 바꾸려고 하는 것 같습니다. 도형의 넓이를 위와 같은 적분식으로 나타낼 수 있기 때문에, 양변을 미분하게 되면 S'(t) 식이 두 다항함수의 차임을 알 수 있습니다. 이를 통해 ㄱ 선지는 쉽게 정오를 판단할 수 있습니다. ㄴ의 경우, 0부터의 넓이임을 이용해 S(t) 식을 완성할 수 있습니다. ㄷ의 경우에는 두 함수가 다항함수이니 음수에서도 그대로 계산해주면 되는데, S'(t) 식이 t=1에서 대칭임을 이용하면 정오를 보다 쉽게 판단할 수 있습니다. 새로운 유형의 문제가 나온다 하더라도, 당황하지 않고 문제의 상황이 어떠한지, 그러한 상황에서 어떤 식을 도출할 수 있는지에 집중하면 제시된 상황을 간단하게 해석할 수 있습니다.

14번은 삼각함수 부분에서 출제되었습니다. 작년에는 항상 도형 문제가 출제되었는데, 이도 마찬가지로 작년 기조에서 조금 새로운 시도를 한 것으로 볼 수 있을 것 같습니다. 문제 난도 자체는 높지 않았는데, 코사인식이 동일하게 주어졌기 때문입니다. b가 자연수이므로 2pi 안에는 b번의 오르고 내리는 모양이 생기게 되는데, 실근의 개수가 홀수이려면 또 다른 직선식이 y=-1이여야 합니다. 이를 통해 a 값을 찾고, 15번임을 이용해 b 값도 쉽게 찾을 수 있습니다. 주기성을 가지는 그래프에서 전체 그래프의 형태가 문자의 값에 따라 어떻게 변할지 예측해보고, 특수한 경우에 집중하면 빠른 시간 내에 문제를 풀어낼 수 있습니다.

15번은 수2에서 출제된 함수 추론 문제입니다. 하지만 조건이 깔끔하게 제시되어 상황을 잘 분석했다면 답을 도출하기까지의 과정이 짧았을 것이라 예상합니다. 절댓값을 먼저 씌우고 적분한 값과 적분한 값에 절댓값을 씌운 값이 서로 다르다면, 중간에 부호 변화가 존재한다는 뜻입니다. 따라서 3에서 부호 변화가 있음을 알 수 있는데, 0 또한 f(x)는 근으로 가지므로 0이 중근, 3이 다른 한 근임을 알 수 있습니다. 이후 (나) 조건에서도 마찬가지로 부호 변화가 존재해야 하므로, 극솟값이 -1임을 알 수 있고 삼차함수 식을 완성할 수 있습니다. 조건이 깔끔해 좋았지만, 비슷한 문제를 풀어본 학생들은 다소 허탈하게 답이 빨리 도출되었을 것 같습니다. 조건을 만족하는 상황을 예외없이 한정지어 경우를 추론해내는 형태의 문제는 자주 등장합니다.

21번도 퍼즐 형식의 함수 추론 문제였습니다. 처음 해석하는 데에는 시간이 들어갈 수 있지만, 잘 해석한 뒤로부터는 비교적 간단하게 답이 도출됩니다. 결국 t값이 특정 값일 때 우변이 특정 값이 되는데, 그 중 가장 큰 실근을 g(t)라고 합니다. 이것이 불연속이라는 것은 극소를 통과한다는 것인데, 우변 식이 최고차항이 -1인 이차함수임을 통해 이차함수가 3에서 대칭임을 알 수 있습니다. 또 f'(1)=0이므로 우변 식을 완전히 완성하고 이를 통해 삼차함수 식을 완전히 찾을 수 있습니다. 침착하게 상황을 해석하되, 상황이 머릿속에 잘 들어오지 않는다면 적당한 수들을 넣어보면서 수가 변함애 따라 그래프가 어떻게 변하는지를 살펴보면 이해에 도움이 될 것 같습니다.

22번은 수열에서 출출제되었습니다. 그렇지만 의미없는 복잡한 조건을 통한 노가다가 아닌, 규칙성을 찾고 분류를 잘하면 굉장히 빨리 풀리는 문제였습니다. 점화식의 형태를 생각할 때 임의의 an은 역추적하는 경로가 유일함을 알 수 있습니다. 따라서 처음에서 퍼져나갈 때도 다시 만나는 점이 없다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 경로가 달라지면 값도 달라집니다. 제시된 형태가 모두 덧셈 형태이므로, 더하는 경우의 수를 계산해주면 32가 나오게 됩니다. 수열 문제에서 가장 중요한 것은 '규칙성'입니다. 제시된 수열이 가진 규칙성으로 답을 도출하거나, 경우의 수를 획기적으로 줄일 수 있는 경우가 많기 때문에, 풀이가 잘 보이지 않는다면 적당히 작은 수들을 대입해보며 규칙성을 찾아가는 태도가 좋습니다.

28번은 특정 형태로 주어진 값을 구하는 문제로 출제되었습니다. g(t)식은 금방 찾을 수 있는데 f(t) 식은 깔끔하게 정리되지 않습니다. 하지만 두 관계가 같음을 이용한다면, 두 함수가 역함수의 성질을 가짐을 알 수 있습니다. 이를 바탕으로 역함수의 미분을 적극 활용해 구하고자 하는 값을 찾으면 됩니다. 간단히 표현되지 않을 것 같은 식은 억지로 정리할 팔요 없이, 그 상태 그대로 둔 뒤 계산하거나 무언가 와의 관계를 생각해 정리할 수 있습니다. 함수와 함수의 관계를 이용한 문제들은 비단 미적분 뿐만이 아니라 수1, 수2에서도 얼마든지 출제될 수 있으니, 여러 함수가 주어지면 함수들은 서로 어떤 관계를 이룰지 고민하는 태도도 좋습니다.

29번은 급수 문제입니다. 등차함수와 등비함수가 같은 값이 존재함을 이용해 우선은 식을 세워둡니다. 식을 정리하면 자연수 k의 범위가 나오게 됩니다. 이를 바탕으로 각 경우의 값을 찾아 최솟값을 찾아주면 됩니다. 문자들이 많을 땐 깔끔하게 소거가 되는 방향으로 식을 정리하면 좋습니다. 최소인 상황을 구할 때는, 직접 대소 비교가 수월한 형태에서는 그 이유를 바탕으로 최솟값을 구하고, 그렇지 않은 경우에는 두 값을 모두 구해서 최솟값을 비교할 수 있습니다.

30번은 함수를 추론하는 문제입니다. 그렇지만 발문이 비교적 간단하게 제시되어 있습니다. 해당 식이 미분 가능하기 위해서는 어떤 조건을 만족해야할지 고민해보아야 하는데, 대체로 미분을 했을 때 말이 안 되는 일이 발생하지 않아야 하는 경우가 많습니다. 이를 바탕으로 f(x)가 x를 인수로 가지고, 극값 조건을 통해 함수를 완성시킬 수 있습니다. 다양한 형태로 함수를 이리저리 만지다 보면, 비교적 상황을 도출하기 쉽게 정리되는 경우가 있습니다. .

이번 6평에서 특징적이었던 부분은 13번 합답형, 14번 삼각함수, 20번 빈칸, 22번 수열 등이 있을 것 같습니다. 전반적으로 뭔가 이런저런 조건들, 상황들을 만족시키는 문제들보다, 간단한 발문에서 여러 정보를 추론해야 하는 문제들이 많이 출제되었다고 느꼈습니다. 기조가 어떻게 변하든, 제시된 상황을 해석하고, 이를 바탕으로 모르는 정보를 도출하는 능력은 항상 중요합니다. 풀었던 문제를 다시 한 번 살펴보면서, 더욱 수학 실력을 튼튼하게 다지시길 바라겠습니다!

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