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ultraleo [849815] · MS 2018 · 쪽지

2026-05-22 00:22:21
조회수 268

[칼럼] 정수가 쪼와요

게시글 주소: https://orbi.kr/00078444147


고3들은 모를 올해 고2 3월 30번


오피셜 출제 의도는



30번이 그렇듯 그래프 가지고 이챠이챠 해보라는 의도로 내셨고



막 뭔가 어마어마한 일이 일어나고 있는데 


요새 기분도 우우라고 그래서 그런건지 긴 글 읽기가 좀 뭣해서 의도는 대충 알겠는데 의도대로 풀기가 싫어지더군요


그러면 어떻게 할 것이냐?



일단 여기까지는 생활 스포츠


그럼 p가 뭔지 알았으니 p*m=-64를 써먹어볼까요?



일대일함수가 되는 경우를 찾는게 아니라


조건에서 일대일함수라니까 일대일함수의 특징을 바로 한번 써먹어보는겁니다



f(b)가 최소가 되는 경우에 대해서 a는 무조건 4미만이니까, 0보다 큰 경우인 3, 2, 1을 각각 넣어보면 (2, 4)가 하나 튀어나옴을 알 수 있습니다


나머지는 a가 음수일 때만 보면 되겠네요



또 찾기 편한 b가 정수인 경우에 대해서는 이미 구한 경우가 나오기는하는데 이건 이미 구하기도 했고 a<0이 아니니까 큰 의미는 없습니다


그러니 (2, 4)에 대해서는 심심하거나 순서쌍이 3개 이상 나오면 진짜 일대일함수를 만족시키는지 검증 하면 됩니다



이제 문제는 정수가 아닌 유리수가 되는 경우인데 그 다음의 논리에 대해서는 정독이 필요할 수도 있습니다



먼저 n^2이 한쪽으로 통째로 몰리는 경우입니다


그런데 문제는 a와 a-4의 간격이 짝수이므로 하나가 홀수라면 다른 하나도 자동으로 홀수가 되어버리죠?


그러면 우변의 64를 만족시키기 위해서는 한 홀수는 1이나 -1이 되는 수밖에 없으니까 a=+-1, a-4=+-1 해보시면 반대편이 제곱수가 안 나온다는 것을 통해서 이 경우는 제외됨을 알 수 있습니다



그러면 양쪽에 n을 하나씩 적어도 n의 인수인 홀수를 각각 하나씩은 가지고 있어야 하는데 이번에도 -4에서 걸립니다


자 한쪽에 어떤 홀수 k가 인수로 존재한다고 하면 거기서 4를 빼봐야 4는 짝수니까 k로 정리를 할 수가 없어서 다른쪽은 k의 배수가 될 수 없으니 a(a-4)는 구조적으로 홀수의 제곱수를 인수로 가지는 것이 불가능합니다


이렇게 정수론에서는 특히 고등학교 레벨의 정수론에서는 홀짝의 논리를 아주 지겹도록 써먹게 됩니다



이제 남은거 정리하러 갑시다



드디어 드디어 이차함수의 성질을 하나 써먹네요


사실 안 써먹고 끝낼 수 있을 줄 알았는데, 써먹는게 제일 간단해서 여기선 쓰고 지나갑니다


자 최고차항의 계수가 양수인 상태에서 구간의 좌측 끝이 최소이기 위해서는 대칭축이 구간의 좌측 바깥에 존재 해야하죠?


그런데 a>0에서는 만족 자체를 못 시키니 기각입니다


그럼 a<0에서 반드시 하나 이상은 순서쌍이 있겠죠?


b>4/a 써먹으면 바로 나오네요


검증 하고 싶으면 하시면 되는데 여기서는 마지막 양심으로 순서쌍 개수는 줬으니 둘 다 검증 안 하고 넘어가셔도 무방합니다



끝~



결론)

논술의

생활스포츠

정수론

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