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제시해주신 수학 9번 문항의 풀이를 단계별로 자세히 설명해 드리겠습니다.
1. 좌표평면 설정 및 \triangle ABD 분석
점 D를 원점 $(0, 0)$으로 하고, 선분 BC가 x축 위에 오도록 좌표평면을 설정합니다.
G가 \triangle ABC의 무게중심이고 직선 AD가 G를 지나므로, 선분 AD는 중선입니다. 따라서 D는 변 BC의 중점입니다.
\overline{DC} = 6이므로, 점 C의 좌표는 $(6, 0)$이고 점 B의 좌표는 $(-6, 0)$이 됩니다. (즉, \overline{BD} = 6)
조건에서 $\overline{AB} = \overline{AD}$이므로 \triangle ABD는 이등변삼각형입니다.
이등변삼각형의 꼭짓점 A는 밑변 BD의 수직이등분선 위에 존재합니다. $B(-6, 0)$과 $D(0, 0)$의 중점은 $(-3, 0)$이므로, 점 A의 x좌표는 -3입니다.
따라서 A의 좌표를 (-3, a) (a > 0)라고 둘 수 있습니다.
G는 선분 AD를 2:1로 내분하는 무게중심이므로, 점 G의 좌표는 다음과 같습니다.
G = (-1, \frac{a}{3})
이제 \triangle ABD의 외심 O를 찾아봅시다.
\triangle ABD가 $\overline{AB} = \overline{AD}$인 이등변삼각형이므로, 외심 O 역시 BD의 수직이등분선인 직선 x = -3 위에 있습니다.
그런데 문제 조건에서 **"외심이 G를 지나고 $\overline{BC}$와 평행한 직선 위에 존재한다"**고 했습니다.
G를 지나고 \overline{BC}(x축)에 평행한 직선은 $y = \frac{a}{3}$입니다.
그러므로 외심 O의 좌표는 $(-3, \frac{a}{3})$이 됩니다.
외심 O는 세 꼭짓점 A, B, D로부터 거리가 같아야 하므로 $\overline{OA} = \overline{OD}$입니다.
두 거리가 같으므로 제곱하면 다음과 같습니다.
(\frac{2a}{3})^2 = 9 + \frac{a^2}{9}
\frac{4a^2}{9} - \frac{a^2}{9} = 9
\frac{3a^2}{9} = 9 \implies a^2 = 27
a > 0이므로 $a = 3\sqrt{3}$입니다.
따라서 주요 점들의 좌표는 다음과 같습니다.
\overline{AD} = \overline{DC} = 6이므로 \triangle ACD는 이등변삼각형입니다.
내심 $E(x_E, y_E)$의 좌표는 세 꼭짓점의 좌표를 각 대변의 길이비로 가중평균하여 구할 수 있습니다.
x_E = \frac{6 \cdot (-3) + 6\sqrt{3} \cdot 0 + 6 \cdot 6}{6 + 6\sqrt{3} + 6} = \frac{-18 + 36}{12 + 6\sqrt{3}} = \frac{18}{12 + 6\sqrt{3}} = \frac{3}{2 + \sqrt{3}} = 3(2 - \sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3}
y_E = \frac{6 \cdot 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} \cdot 0 + 6 \cdot 0}{12 + 6\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{12 + 6\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = 3\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}) = 6\sqrt{3} - 9
따라서 내심 E의 좌표는 (6 - 3\sqrt{3}, 6\sqrt{3} - 9) 입니다.
3. \triangle DGE의 넓이 계산
이제 세 점 D(0,0), G(-1, \sqrt{3}), $E(6 - 3\sqrt{3}, 6\sqrt{3} - 9)$로 이루어진 삼각형의 넓이를 구합니다.
원점을 포함하는 세 점의 넓이 공식(신발끈 공식) $S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$을 사용합니다.
문제가 벡터스러운데 벡터 30번보다 어렵네
중학도형인데수
스바 이건 32번 문제인데
헉
$18 = \sqrt{324}$이고 $12\sqrt{3} = \sqrt{432}$이므로 $18 - 12\sqrt{3}$은 음수입니다. 절댓값을 풀면 부호가 바뀝니다.
S = \frac{1}{2} (12\sqrt{3} - 18) = 6\sqrt{3} - 9
4. 정답 도출
문제에서 \triangle DGE의 넓이가 p\sqrt{3} - q라고 주어졌으므로, 도출한 넓이와 비교합니다.
p\sqrt{3} - q = 6\sqrt{3} - 9
따라서 자연수 p, q의 값은 각각 p = 6, q = 9입니다.
최종적으로 p + q = 6 + 9 = 15 가 됩니다.
우와맞깅한데
제미나이딸깍해서슬퍼써
도형고자라ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 제미나이 므찌다..
아니 발문 맘에 안들어서 수정해서 올릴랫더니
제미나이딸깍하구잇서
개어려운거네 어차피 못풀었겠다
댓츠논노그러치않아오
중학도형이에오..
그래서어려운거에요..
oh..
안니 논증기하 문제를 해석기하로 푸니까 복잡해보이는거시야요