수학 문제 풀 때 생각을 많이 하라고? “어떤” 생각을 “어떻게” 하라는 건데?

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반갑습니다. 성균관대학교에서 철학과 수학을 전공하고, 이후 수학 강사를 꿈꾸고 있는 PRINCIPIA입니다.

수학 공부 방법을 찾아 보면, 누군가는 해설지 풀이를 아예 보지 말라고 이야기하고, 누군가는 문제를 풀다가 막히면 곧바로 해설지 풀이를 보라고 이야기합니다. 어느 방법이 더 좋은 방법일까요? 공부할 때는 스스로 고민을 많이 하는 것이 좋다고는 하나, “생각하는 방법”을 모르면 고민하는 시간이 너무 오래 걸려 곤란할 것입니다. 이런 답답한 경험을 겪으셨거나 겪을 분들을 위해, 고등수학 개념서 출판을 준비하고 있습니다.

(현재 교재 표지를 토대로 AI로 생성된 이미지입니다. 표지 이미지는 이후에 바뀔 수 있습니다.)

수학 공부는 아무래도, 연역적 사고 능력을 가장 크게 요구합니다. 잠시 철학 쪽으로 갑시다. 연역이란 무엇일까요? 바로, 주어진 전제로부터, 필연적으로 참인 결론을 도출하는 것입니다. 예를 들어, ‘철수는 남자다.’라는 전제의 참으로부터, ‘누군가는 남자이다.’라는 결론을 내는 것이지요. 쉽게 말해, 철수가 남자임으로부터 누군가가 남자임은 절대 틀릴 수가 없어서, 논리적으로 보장되는 것입니다. 이를 수학 문제 풀이와 비교해 볼까요? 문제에는 몇 가지 단서가 주어져 있습니다. 우리는 단서들로부터 논리적인 추론을 거쳐, 틀릴 수 없는 결론, 즉 정답을 유도해야 하는 것이죠. 예를 들어 볼까요? 다음 문제를 두 가지 방법으로 풀어 봅시다.

부등식 이 항상 성립할 때, 의 범위를 구하시오.

첫 번째 방법입니다. 대부분의 책에, 이차식 에 대해 이 항상 성립할 경우,의 판별식 임이 나와 있습니다. 이 개념을 암기하여 식에 적용합니다.

두 번째 방법입니다. 문제는 한 이차부등식이 항상 성립한다고 말하고 있습니다. 이때, 우리가 부등식은 두 함수의 상하 위치 관계를 비교하는 식임을 알고 있다고 합시다. 이러한 관점에서 위 부등식은,이라는 이차함수가, , 즉 축보다 항상 위에 있거나 닿는 점이 있다는 정보를 담고 있습니다. 이로부터 논리적으로 올바른 추론을 해 봅시다. 위 정보로부터, 우리는 이차함수의 그래프가 축보다 위에서만 그려지거나, 접하게 그려져야 한다는 결론을 낼 수 있습니다.

여기서도 한 번 더 추론을 할 수 있습니다. 그래프가 축보다 위에 그려질 경우에, 의 해는 없고, 따라서 판별식 입니다. 그래프가 축에 접할 경우에 의 근은 중근이고, 따라서 판별식 입니다. 따라서, 또는 이므로, 인 것이죠. 이것이 논리적인 추론을 통한 풀이입니다. 정리하면 다음과 같습니다.

1. 주어진 부등식을 보니, 이차함수가 축 위에 붕 떠 있거나 접하겠구나!
2. 아하! 그럼 이차방정식의 실근이 없거나, 중근을 가지겠구나!
3. 아하! 그럼 판별식 D가 음수거나 0이겠구나!

문제가 너무 쉬워서 사소해 보일 수 있지만, 이는 두 풀이의 차이점을 보여드리기 위함입니다. 첫 번째 풀이가 짧고 간단해서 더 좋아 보이나요? 그렇지 않습니다. 추론을 이용한 풀이가 훨씬 좋은 풀이입니다. 첫째, 단순히 달달 외우는 공부를 하지 않게 합니다. 사실 저는 많은 학생들이 개념을 까먹었다고 말하는 것이, 개념을 추론의 결과로서 이해하는 것이 아니라, 그냥 “아~ 그렇구나!” 하고 넘기기 때문이라고 봅니다. 개념을 추론 결과로 이해한다면, 아주 오랫동안 까먹지 않게 됩니다. 둘째, 추론 과정 자체가 많은 부산물을 낳습니다. 위 문제를 추론으로 해결한다면, 단순히 공식을 적용하는 게 아니라, 그래프의 위치 비교, 이차함수와 이차방정식의 관계, 판별식의 적용 세 가지를 모두 상기하며 문제를 풀게 됩니다. 한 번 문제를 풀 때 세 가지의 연습을 하게 되는 것이지요. 그러면 결국 나머지 개념도 까먹지 않게 됩니다.

저는 저의 교재에서, 이러한 추론을 담아내고자 합니다.

이 책의 특징은, 줄글로 된 설명이 매우 길다는 것입니다. 솔직히 말씀드리면, 시중의 웬만한 교재들보다 설명이 압도적으로 많을 것입니다. 내용을 간단히 요약하면 학생들이 보기에 편하긴 하겠지만, 그렇게 하면 제가 원하는 만큼 추론을 올바르게 담아내지 못할 것 같았습니다. 수학 역시 글 읽기를 통해서 공부해야 한다는 것을, 수학을 제대로 공부해본 누구나 동의할 거라 생각합니다. 긴 글을 진득하게 읽고 이해할 각오가 되어 있다면, 반드시 이 책이 도움이 될 것입니다.

많은 분들이 하시는 생각이, 추론은 문제 풀이 과정에서만 일어난다는 것인데, 사실 그렇지 않습니다. 모든 개념은 수학적인 정의(약속)로부터 유도되기 때문에, 개념이 도출되는 과정도 모두 추론이며 개념은 그 결과입니다. 앞에서 배워서 알고 있는 개념을 통해, 새로운 개념을 증명하여 이해하는 것이죠. 모든 것이 추론입니다. 따라서, 개념을 설명하는 것 역시 앞 내용을 토대로 이후 내용을 증명하는, 탑 쌓기 형식을 따릅니다. 이런 방식으로 개념 공부를 한다면, 몇 년이 지나도 그것들을 까먹지 않을 것입니다.

또한, 수학적으로 의문이 드는 부분도 모두 긁어 줄 것입니다. 예를 들면, 0!은 왜 0이 아니라 1이어야만 하는지나, 행렬 곱셈 연산에 있어 제약이 걸리는 부분이 무엇인지 등입니다. 다른 교재에서 그저 받아들이고 넘어가는 부분에 대해, 충분히 납득 가능한 설명들을 추가했습니다.

출판 과정을 밟기 전에, 공부하시는 학생 여러분의 의견을 듣고 싶습니다.

저는 주로, 개념을 너무 잘 까먹는 학생, 분명 개념을 이해하고 외운 것 같은데도 문제에 적용하는 데 어려움을 겪는 학생들이 이 교재로 공부하셨으면 합니다. 이 책이 공부에 도움이 될 것 같은가요? 솔직한 피드백 부탁드리겠습니다!

-현재 공통수학 1 범위까지 작성 완료하였고, 이후 과목들은 작성 중에 있습니다.

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PRINCIPIA [1459337]

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효리미 · 1456683 · 04/30 16:05 · MS 2026 (수정됨)

언제쯤 나오나요?? 되게 좋을 것 같은뎀,,,

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PRINCIPIA · 1459337 · 04/30 16:18 · MS 2026

공통수학 1은 내용 작성을 완료하여 검수 및 수정 중에 있어서, 출판을 한다면 2026년 12월 이내로 출판을 추진할 생각입니다. 이후 과목은 작성 예정입니다.

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효리미 · 1456683 · 04/30 17:02 · MS 2026

오오 출판 기대되네요

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PRINCIPIA · 1459337 · 04/30 17:05 · MS 2026

감사합니다!

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