수학에서 사람들이 대부분 헷갈려하는 질문
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예를 들어 문제에 '모든 실수 t에 대하여 f(a)=t를 만족하는 실수 a가 적어도 하나 이상 존재한다'라는 조건이 있을 때,
f(a)=t는 모든 실수 t에 대해 그 해가 존재하므로 t의 값이 무엇이 되었든 하나 이상의 근이 존재하겠군요.
그럼 t에 a를 대입해도 성립할 테므로, 방정식 f(a)=a는 적어도 하나의 근을 가집니다. 과연 맞을까요? 의견을 남겨주세요
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f(x)=x-1이면 성립하지 않으니 틀린거같은데... 맞나요
네 맞습니다 사실 고교과정에서는 반례를 드는 방법 말고는 없긴 하죠 그렇지만 저 내용은 알아두면 문제에서 헷갈리지 않는데 도움은 줄 겁니다
근을 가지기만 하면 되지 그 근이 꼭 a일 필요는 없는거네요 이ㅓ런 것들을 헷갈리지 않아야 수2를 잘풀 수 있다는 생각이드는것같습니다
문제 조건은 '함수 f(x)의 치역은 실수 전체의 집합이다' 라는 뜻이니 방정식 f(x)=x의 실근 존재유무와는 관련이 없죠
예를들어 log x 라든지...
결과적으로 맞습니다. 그렇다면 질문이 있는데, 분명 문제 조건에 따르면 t에는 모든 실수값이 들어갈 수 있으므로 a를 대입해도 성립해야 하는거 아닐까요? 그런데 왜 성립하지 않는 걸까요? 그렇다면 '모든 실수t에 대해 성립한다'는 조건이 있으면 t에 임의의 상수나 변수를 대입하는건 잘못된 걸까요? 분명 우리는 항등식에서 수치대입이나 치환이 가능하다고 배웠는데 말이죠. 어떻게 생각하시나요?
a가 상수가 아니라 t의 종속변수기 때문에 맘대로 대입하면 안되는거 아닐까요
No
치역이 R이라는 말