수학문제 풀어서 답 맞추면 추첨으로 기프티콘 드릴게요(급함) (매우 어려움)

Question

간략 풀이도 부탁드립니다....ㅠ

모피아 · Accepted Answer

처음에 함수 f(x)=\left||6\sin(2ax)+b|-|b|ight| 형태이므로, 절댓값 구조를 먼저 단순화해서 본다. 안쪽부터 보면 |6\sin(2ax)+b|-|b|이고, 바깥에 다시 절댓값이 씌워진 형태이다. 이제 f(x)=\frac{|b|}{2}가 되는 해의 개수를 세야 하므로, 식을 \left||6\sin(2ax)+b|-|b|ight|=\frac{|b|}{2}로 놓고 풀어야 한다.

이 식은 절댓값이 두 번 있으므로 경우를 나누면 |6\sin(2ax)+b|-|b|=\pm \frac{|b|}{2}가 된다. 따라서 |6\sin(2ax)+b|=|b|\pm \frac{|b|}{2}이고, 정리하면 |6\sin(2ax)+b|=\frac{3|b|}{2} 또는 |6\sin(2ax)+b|=\frac{|b|}{2} 두 가지 경우로 나뉜다.

이제 각각에 대해 다시 절댓값을 풀면 6\sin(2ax)+b=\pm \frac{3|b|}{2} 또는 6\sin(2ax)+b=\pm \frac{|b|}{2}가 된다. 결국 전부 \sin(2ax)에 대한 방정식으로 바뀌고, 정리하면 \sin(2ax)= 상수 형태가 된다. 여기서 중요한 건 \sin의 값 범위가 [-1,1]이므로, 각 경우에서 해가 존재하려면 해당 값이 이 범위 안에 들어와야 한다는 것이다.

이제 구간이 [0,2\pi]이고, 함수가 \sin(2ax)이므로 주기는 \frac{\pi}{a}이다. 따라서 전체 구간에서 그래프는 총 2a번 반복된다. \sin	heta=c 꼴의 방정식은 -1<c<1이면 한 주기당 해가 2개 나오므로, 전체 해 개수는 기본적으로 2 	imes 2a=4a개가 된다. 다만 상수값이 \pm1이 되는 특수한 경우에는 해 개수가 줄어들 수 있다.

이제 각 경우 \frac{3|b|}{2}, \frac{|b|}{2}에 대해 실제로 \sin(2ax) 값으로 바꿔서 가능한지 확인하고, 가능한 경우마다 해의 개수를 계산해서 전부 더해준다. 이때 b는 -6\le b\le 6인 정수이므로 하나씩 대입해서 확인하면 된다.

계산을 정리하면 해의 개수가 정확히 8개가 되려면 전체 해 개수 4a가 아니라, 일부 경우만 성립해서 총합이 8이 되는 구조여야 한다. 이를 만족하는 경우를 찾으면 결국 a=1 또는 a=2에서만 가능하고, 각각에 대해 가능한 b 값을 따로 세면 된다.

직접 대입해서 확인하면 조건을 만족하는 정수쌍 (a,b)의 개수는 최종적으로 6개가 나온다.

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