2026 고3 3모 수학 미적분 후기 및 해설

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안녕하세요 오랜만에 후기 및 해설로 돌아온 구름정원입니다. 작년 수능이 얼마 안된 것 같은데 벌써 3월 모의고사 시즌이 와서 좀 놀랐습니다. 서론은 늘 그렇듯 줄이고 바로 본론으로 넘어가보도록 하겠습니다.

시간은 총 53분 정도 소요되었습니다. 3모 답게 문항 배치도 대체로 작년 수능을 따라가려고 하는 것이 눈에 띄었습니다. 물론 약간의 변화는 있습니다만(14 도형 아님, 20 빈칸 아님 등). 객관식 앞쪽 문항들을 굉장히 쉽게 준 느낌이 들었고, 실제로 저도 풀 때 15, 21, 22, 28, 29, 30을 제외하고는 15분 안에 풀었던 것 같습니다. 공통보다는 미적이 상당히 어려웠고, 깔끔하게 어렵다기보다는 복잡한 조건, 계산, 경우 찾기가 도드라졌던 것 같습니다. 전체적으로 문항들이 빡빡했던 감이 있어서 3모 치고는 체감 난도가 높았을 것으로 예상됩니다. 이제 문항별로 하나씩 살펴보며 이어나가도록 하겠습니다. 14, 15, 21, 22, 27, 28, 29, 30을 보려고 합니다.

14번은 삼각함수에서 출제되었습니다. 13까지는 브레이크가 거의 없다시피 했던 것 같은데, 이 문제가 처음으로 아마 브레이크의 기능을 하지 않았을까 싶습니다. 조건을 바탕으로 제시된 삼각함수의 개형을 완성해야 하는 문제인데, 개인적으로 상당히 좋은 문제라고 생각합니다. 우선 0부터 파이까지는 개형이 주어져 있으니 그릴 수 있고, 코사인 그래프는 잘은 몰라도 감소하거나 증가하거나 둘 중 하나임을 알 수 있습니다. 즉, 해당 범위 그래프에서는 x축과 평행한 선과 교점이 최대 1개라는 뜻이죠. 모든 근의 합이 7/4파이가 나오는 경우를 생각해야 하는데, 왼쪽에서 교점이 없거나 0에서만 만나면 오른쪽에서 7/4파이가 되어야 하고, 왼쪽에서 근이 1/2파이면 오른쪽에서 5/4파이가 되어야 하고, 왼쪽에서 근이 두 개면 모순입니다. 이때, 실수 t의 개수가 4개여야 하므로, 7/4파이에서 0이 되어야 함을 알 수 있습니다. 모르는 문자 2개, 식 2개 이므로 연립하면 답이 나옵니다. 경우가 과하게 복잡하지 않으면서도, 생각해볼 거리가 있어서 좋은 문제인 것 같습니다. 여담이지만 이 정도 난도의 문제가 딱 재미있다고 생각합니다.

15번은 삼차함수 개형 추론 문제입니다. 미분가능 조건에서 f(x)가 삼차항과 이차항으로만 이루어져 있음을 캐치할 수 있습니다. 그렇게 되면 왼쪽은 4차, 3차, 2차항으로 이루어진 최고차항 -1의 그래프, 오른쪽은 3차, 2차항으로 이루어진 최고차항 1/4의 그래프가 됩니다. -27과의 교점이 딱 2번이고, 그때 모두 미분값이 0이 되도록 하려면 위 그림의 형태가 되어야 합니다. 미분값이 0인 지점이 -27이 된다는 점을 이용해 좌우의 식을 완성하면 답을 구할 수 있습니다. 여담으로 이 문제에 10분 정도를 썼는데, 케이스를 구하고 이후 식을 완성하는 과정에서 시간을 상당히 소요했습니다. 계산이 조금 빠증날 수 있는 문제였던 것 같습니다.

20번은 수열 문제입니다. 처음 몇 개의 항들을 적어 나가다 보면, 5개씩 합이 0이 됨을 파악할 수 있습니다. 따라서 5개 묶음 중 앞 4개 안에서 20 이상 30 미만의 합 조합을 찾아 나가면 됩니다. 그렇게 어려운 문제는 아니라고 생각하지만, 문제가 재미있어서 들고 왔습니다; ^^

21번은 삼차함수 추론 문제입니다. 다만 작년 수능 21번과 비해서는 훨씬 더 쉬운 것 같습니다. (가) 조건을 바탕으로 삼차함수의 한 근이 2가 되어야함을 알 수 있습니다. 그리고 삼차함수의 다른 근을 찾아야 하는데, (나) 조건에서의 적분으로 찾을 수 있습니다. 근이 0보다 작냐 아니냐로 2가지 경우가 나뉘지만, 적분값의 크기를 고려했을 때는 근이 0보다 작아야할 것 같다는 직관이 들어오긴 합니다. 실전에서는 영 찝찝하면 두 가지 경우 다 해보셔도 될 것 같지만, 한 경우에서 답이 도출되고 오류가 없으면 뭐... 그게 답인 거죠; 3모 21번 정도로는 나쁘지 않은 것 같지만, 최근 평가원 21번보다는 확실히 간단하게 느껴지는 문항이었습니다.

22번 문항은 역시 지수/로그함수 부분에서 출제되었습니다. 다만 작년 평가원의 22번하고는 다른 느낌의 22번이었던 것 같습니다. 그래도 문항 자체는 꽤 좋은 것 같았습니다. k가 자연수라고 되어 있는데, 이 말은 k의 값을 직접 찾아야할 확률이 높다는 뜻입니다. 두 그래프의 y 좌표 차가 1/5가 되는 근이 2개면 지수방정식 형태로 생각을 해볼 수 있습니다. 이때, g의 그래프가 f보다 1/5 위에 있어야 함을 도출할 수 있습니다. 이를 바탕으로 지수 방정식을 세울 수 있는데, 산술기하, 양수 조건을 이용하면 역시 k가 2가 됨을 알 수 있습니다. 이를 바탕으로 문제의 답을 구할 수 있습니다. 지수 방정식으로 22급의 문제를 꽤 맛있게 만들었다고 개인적으로 생각합니다. 단순히 식을 정리하고 경우를 좁혀나가는 것이 아니라, 이 상황이 성립하기 위해 숨겨진 기저조건들을 염두에 두고 풀어나가는 능력이 중요합니다.

27번은 수열의 극한에서 출제되었습니다. 사실 3모다 보니 미적분이 전범위가 아니라서 수열 부분이 많이 나오죠. 샌드위치 비스무리한 느낌으로 풀어가는 문제인데, 조건제시가 새로웠습니다. 물론 실전에서는 한쪽만 구해서 풀겠지만요; 제시된 수열의 대소조건을 바탕으로 식을 답의 형태와 유사하게 변형하면 대체로 구하고자 하는 값을 도출해낼 수 있습니다. 여담으로 조건을 기반으로 해 도출된 두 식 중 아래 식에 n-1을 넣어도 뭔가 나올만 할 것 같은 느낌이 드네요.

28번은 수열의 극한 탈을 쓴 함수 추론 문제입니다. 겉보기 난이도에 비해서는 할 만하긴 한데... 이렇게까지 복잡하게 줄 필요가 있었나싶긴 합니다. 너무 과하다 싶었어요. 일단 h(x)가 저런 형태로 제시되어 있으니 f(x) 값의 범위에 따라 함수를 쪼갤 수 있겠고, 완성할 수 있는 부분만 완성한 뒤 조건을 만족시킬 법한 개형을 그리면 위와 같아집니다. p, q가 자연수라고 하니 또 뭔가 조건을 활용해 특정 값을 딱 찾아내야할 것으로 예상이 되고 마침 k의 개수가 7개라는 조건도 주어졌으니 빼박입니다. h가 0에서 좌미분계수가 딱 12거나, 12~13 사이면 4번 만나는 k개수가 7개가 나옵니다. 그러려면 q가 24, 25가 되어야 하는데, p까지 자연수가 되게 하는 q는 24가 됩니다. 그렇게 되면 구하고자 하는 답을 도출해낼 수 있습니다. 수열의 극한, 함수 추론, 자연수 조건, 교점 등 뭔가 짬뽕같은 문제였네요.

29번은 도형을 활용한 극한 문제입니다. 각 조건과 p, q 중점 조건을 활용하면 r도 중점이 됨을 알 수 있습니다. DR과 DC의 비율, n으로 나타낼 수 있는 RC 길이, n으로 나타낼 수 있는 코사인 값이 있다면 두려울 게 없죠. 바로 코사인 법칙을 먹여주면 DR길이와 n으로 나타난 이차방정식을 도출할 수 있고, 이 말은 DR길이도 n으로 나타난다는 뜻이 됩니다. 이후에는 근의 공식을 써서 정석대로 구해도 될 것 같고, 실전에서 저는 그냥 4/3n + @꼴로 설정해 두고 일차항이 사라지는 @ 값을 찾았습니다. 후자의 방법이 아무래도 편하긴 합니다. 도형도 쓰면서 적당히 재미있었는데, 근의 공식으로 밀려면 계산이 좀 상당하긴 하겠네요;

30번은 최고 오답률 수열의 극한 문제입니다. 순서쌍의 개수가 19개가 되게 하는 k값을 찾으라는 것부터 벌써 머리가 어질어질합니다만 그렇다고 겉모습만 보고 포기할 수는 없죠. 아무리 복잡하고 어려운 조건이 제시되어 있어도, 실마리를 찾아 하나하나 풀어나가다 보면 내가 이해할 수 있는 나만의 형태로 정리가 됩니다. 우선 k에 대한 신경을 잠깐 접어두고 조건을 만족시킬만 한 경우를 고려해봅니다. a가 0이거나, a가 0이 아닐 경우 a+b가 0 또는 1이 되어야 합니다. 그러면 총 3가지 경우로 나뉘는데, 이 중 a가 0이 아니면서 a+b가 0인 경우는 고려할 필요가 없습니다. 나이스네요. 이제 k에 적당한 수를 집어 넣어면 해당 식이 어떤 것을 의미하는지 더 구체적으로 파악할 수 있는데, k에 특정 값이 들어가게 되면, 이를 만족하는 a, b의 범위가 나오거나 a, b값의 경우가 바로 도출됩니다. a=0에서는 범위 형태로 주어지고, a+b=1의 경우에서는 k가 18이면 2가지 경우가 보너스로 생기겠네요. 그러면 경우의 수가 19개니 대충 k에 19를 넣으면 딱 19가지가 나옴을 알 수 있습니다. 20도 마찬가지입니다. 18의 경우, a=0에서는 17가지지만, 2가지 경우가 추가로 생기니 기분좋게(?) 19가지가 되네요. 다른 값은 자연히 불가능해집니다. 이렇게 k값 18, 19, 20을 도출할 수 있습니다. 조건이 너무 복잡하고 어렵고 헷갈리게 제시되어서 이해가 잘 안 되면, 특수한 값을 하나 넣어 보시는 걸 추천드립니다. 문자보단 숫자로 제시되어 있을 때, 범위보단 등식으로 제시되어 있을 때 훨씬 요구되는 이해의 정도가 낮아집니다.

오늘은 이렇게 2026 3모 미적분을 리뷰해 보았습니다. 궁금하신 부분이 추가로 있거나 오류가 있다면 댓글, 쪽지로 자유롭게 작성 부탁드립니다.

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