[수학 칼럼] 사잇값 정리를 가장 직관적으로 이해하는 법
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중간에 끊어지지 않고 계속 이어져있는 튼튼한 밧줄이 있다고 가정해봅시다.
그리고 이 밭줄이 시작되는 부분을 A라고 하고
끝나는 부분을 B라고 가정해볼게요.
마지막으로, 이렇게 생긴 검은색 칸막이도 하나 있다고 가정해보죠.
만약 다음 그림처럼 밧줄을 안보이게 한 상태에서
밧줄의 시작점과 끝점의 위치만 칸막이로 구분되게끔 표시해본다면
어떠한 사실을 발견할 수 있을까요?
(한쪽 점은 칸막이보다 더 높은 위치에 있고
다른 한쪽 점은 더 낮은 위치에 있는 상태에서요)
어?!
아까 밧줄이 중간에 끊어짐이 없이
계속 이어져있는 상태라고 가정했으니
밧줄이 어떤 동선으로 펼쳐지는지에 관계없이
칸막이 아래에 있는 A에서 시작해서
칸막이 위에 있는 B에서 끝나려면
칸막이를 적어도 한 번은 지나갈 수 밖에 없겠네요?
이것이 바로 사잇값 정리의 주된 발상입니다.
밧줄 ⇒ f(x)
중간에 끊어짐 없이 계속 이어져있다 ⇒ 연속
칸막이 ⇒ y = k ( f(a) < k < f(b) )
A ⇒ k보다 함숫값이 작은 지점
B ⇒ k보다 함숫값이 큰 지점
C ⇒ f(x)가 y=k를 지나가는 지점( f(c) = k )
[추가 정보]
만약 밧줄이 중간에 끊어짐이 있는 상태였다면
(=만약 함수 f(x)가 연속이 아니었더라면)
칸막이(y=k)와 만나지 않고도 A에서 B까지 갈 수가 있었겠죠.
그렇기 때문에 사잇값 정리는 이러한 예외를 방지하고자
함수 f(x)가 연속이어야 한다는 조건을 따로 두고있는 겁니다.
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