근의 분리 문항, 왜 어떤 문제는 판별식이 필요 없을까?
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안녕하세요, 생명수 공통수학 저자 신원준입니다.
오늘은 고1 수학에서 가장 중요하다고 소문난, 근의 분리 문항에 대해 이야기해 보려고 합니다.
혼자서 선행을 해 본 적이 있다면, 혹은 학원 수업을 들었더라면 근의 분리의 상황은
① 경계의 함숫값 | ② 판별식 | ③ 대칭축 위치 |
이 3가지를 따져 푸는 것이라고 배운 바 있을 겁니다. (또는 그렇게 배우게 될 것입니다.)
실제로 가장 대표적인 근의 분리 문항을 하나 살펴볼까요?
이 문항에 대한 시중 대부분 개념서에 수록된 풀이는 다음과 같습니다.
배웠던 대로 판별식, 경계의 함숫값, 대칭축 위치를 이용하여 풀었네요. 배웠던 내용이 이 문제에서 잘 먹히니 조건이 조금 달라진 문제도 한 번 살펴봅시다.
시중 개념서를 잘 공부한 학생이라면 방금 문제와 똑같이 경계의 함숫값, 판별식, 대칭축 위치를 이용하여 문제를 잘 해결했을 겁니다. 이제 잘 풀었는지 확인하기 위해 풀이를 봐볼까요?
??? 왜 이번에는 판별식, 대칭축 위치는 고려하지 않는 것이죠?
어떻게 경계의 함숫값만 고려했는데 답이 나온 걸까요?
해설을 쓴 사람은 어떤 생각을 바탕으로 판별식과 대칭축은 고려하지 않아도 되겠다고 판단한 것일까요?
여러 가지 의문이 교차하기 시작합니다.
결국 의문을 해소하지 못하고 두 근 사이에 상수가 있을 때는 함숫값 조건만 쓰는 걸로 대충 외우고 넘어간다면, 몇 페이지 지나지 않아 다음 문항을 만나는 순간 멘탈이 나가게 될 것입니다.
이런 경험 있지 않으신가요? 이렇듯 많은 학생들이 근의 분리 문항을 완벽하게 풀지 못하는 이유는
근의 분리 상황을 다룰 때 반드시 해야 하는 생각을 학습하지 못했기 때문
입니다.
그럼 그 생각이 도대체 무엇이냐? 바로 경계의 함숫값, 판별식, 대칭축 위치를 고려하여 조건식을 하나씩 작성할 때마다 반드시 해야만 하는, 다음과 같은 생각입니다.
★“방금까지 쓴 조건식만으로, 내가 목표로 하는 그래프가 반드시 그려지나?”★
이를 바탕으로 Q1과는 달리, Q2의 문항을 풀 때 판별식과 대칭축의 위치는 고려하지 않고 경계의 함숫값만 고려해도 상관없는 이유를 함께 생각해 볼까요?
Q2의 문항이 원하는 그래프는 다음과 같은 모양임은 쉽게 알 수 있습니다.
이제 그래프를 통해 f(3)<0임을 쓴 다음
★“f(3)<0만으로 내가 목표로 하는 그래프가 반드시 그려지는지”★
생각해본다면, f(3)이 x축보다 아래쪽에 있기 위해서는 아래로 볼록한 이차함수 f(x)가 반드시 x축과 교점 2개를 가지게 됨을 파악할 수 있고 이렇게 되면 우리가 원했던 그래프가 반드시 그려지게 되므로
“판별식, 대칭축의 위치 다 필요없이 f(3)<0만으로 충분함”
을 스스로 도출해낼 수 있는 것입니다.
(근의 분리 문항에 대한 자세한 풀이가 궁금하신 분들은 첨부파일을 참고해주세요!)
근의 분리에서 자꾸 막히는 이유는 문제를 적게 풀어서가 아니라, 조건을 쓸 때마다 그래프가 실제로 어떻게 강제되는지를 생각하는 연습이 부족했기 때문일 가능성이 큽니다.
그래서 어떤 문제에서는 판별식까지 쓰고, 어떤 문제에서는 함숫값만 쓰고, 또 어떤 문제에서는 갑자기 전혀 다른 판단이 필요한 것처럼 느껴지는 겁니다. 비슷한 문항은 외워서 버틸 수 있어도, 결국 조금만 비틀리면 바로 흔들리게 되죠.
저는 이런 답답함을 줄이고 싶어서 생명수 공통수학 시리즈를 만들었습니다.
근의 분리처럼 겉보기엔 유형 같지만, 사실은 생각의 힘이 필요한 단원에서 막연한 암기 대신 분명한 기준을 잡고 싶은 학생들에게 이 책이 좋은 길잡이가 되었으면 합니다.
다음 글에서는 많은 학생들이 생각보다 어려워하는 경우의 수를 주제로 한 게시글로 돌아오겠습니다. 긴 글 읽어주시어 감사합니다.
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Q. 3은 f(1)f(3)<0을 검토하는 것으로 충분하겠네요.
Perfect.
아 말씀주신 경우는 두 근 중 하나만이 1, 3 사이에 있는 상황이고 추가로 두 근 모두 1, 3 사이에 있는 상황도 살펴야 합니다 :) (‘적어도’란 말을 빼먹고 생각했네요 허허)
아하 그럴수도 있겠네요. 고1수학도 생각할게 많은 것 같습니다 ㅋㅋㅋ
그렇죠. 저런 부분들이 다 함수 추론의 기초가 되는 부분이니..
오 출판되면 사야겠다
좋게 봐주시어 감사합니다 ㅎㅎ 분명 후회하지 않으실 것이라 장담합니다!
공수 기억에서 사라질지경
그래프딸깍 함판축딸깍을 잘 명시지화 해놓은 것 같읍니다.지금은 머릿속에 그래프 떠올려보면 딸깍이지만 처음 공부할 때는 상당히 스트레스 받으며 공부했던 기억이 있읍니다..
Q3은 그럼 어떻게 해결하나요? 두근이 전부 1,3 사이에 있을때, 둘 중 하나만 1,3 사이에 있을때 케이스 나누는걸까욥?
네 일단 그렇게 케이스를 나누고 생각하다보면 f(1), f(3)이 각각 +, - or -, +이어야 한다는 점을 생각할 수 있고 이 두 상황을 포괄하여(동치식인) f(1)f(3)<0이어야 한다는 한 줄만 쓰면 되는 문항입니다!
후자의 경우는 그러하고, 전자의 경우까지 고려하여 정리하면
Case1) 두 근 중 하나만이 1, 3 사이에 있는 경우
-> f(1)f(3)<0 ••• ㄱ /
Case2) 두 근 모두 1, 3 사이에 있는 경우
-> f(1)>0, f(3)>0, (판별식)>=0, 1<(대칭축)<3 ••• ㄴ
/ ㄱ, ㄴ을 계산한 범위 모두 답이 됩니다 + 특수하게 두 근 중 한 근이 3인 경우, 즉 k=11/5인 경우도 조건을 만족합니다 :)
답변 감사합니다
올해 수1,수2,확통 책도 나오나요아쉽지만 현재 공통수학 시리즈를 우선 출간한 후 대수/미적분1/확통은 그 이후에 시장 반응을 보고 제작할 계획이라 올해 안에는 출간이 어려울 것 같습니다 ㅠㅠ