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ssan0806 [1394509] · MS 2025 · 쪽지

2026-02-24 22:20:38
조회수 736

[수학] 킬러 문제를 뚫어내는 법

게시글 주소: https://orbi.kr/00077711928

안녕하세요, 처음으로 인사드립니다.

첫 칼럼 주제는 "킬러 문제를 뚫어내는 법" 입니다.


저는 수학 가형을 응시하고 서울대학교에 입학한 화석입니다..

입학 이후에 수년간 수십명의 학생들을 과외하며, 다양한 성적대의 학생들을 접했는데요.

 

학생들이 어려운 수학 문제를 접할 때 ,가장 많이 하는 고민은 바로 이런 것들입니다.


"해설을 보면 이해는 되는데, 왜 저렇게 하는지 모르겠어요."

"다음에 혼자서 풀면, 이런 문제를 다시 만나도 못 풀 것 같아요."


이런 일이 발생하는 이유는, 인강이든 학원이든 혹은 해설지든, "풀이"만 알려주기 때문입니다.


방법을 듣고 나서 따라하는 건 쉽습니다.

하지만 "날 것의 그대로"의 문제를 보고 처음부터 생각을 짜나가는 것은 쉽지 않습니다.

마치, "콜럼버스의 달걀" 이야기처럼요.


단순히 , "이 문제는 이렇게 푸는 거야" 하는 풀이를 배우는 것이 아니라,

문제의 어떤 부분을 보고 어떤 생각을 했는지, 이런 "생각의 흐름"을 배워야 합니다.


ㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡㅡ 


작년 수능 15번 문제를 예시로, 한 번 같이 연습해볼까요?



문제만 봐도 어지럽죠?

f(x), g(x), h(x) 등 함수가 여러 개 나오는 것도 모자라서,

구간에 따라 구분되고, 미지수도 껴 있고, 정적분으로 정의되어 있습니다.

극값도 하나만 가져야 하고, 최댓값도 구해야 합니다.

그 때(최댓값)의 적분 계산까지 해야 하구요...


대부분의 학생들이 이 문제를 슬쩍 보자마자 겁을 먹습니다.

문제를 읽어도 무슨 말인지, 뭘 하라는 건지도 모르겠구요.

아예 시작을 할 줄 모릅니다.


그렇다면.. 만일 시험지가 아래와 같이 보인다면 어떨까요?



문제를 바라보는 관점만 탑재해도, 많은 것이 달라집니다.

숫자와 식에 집착하지 않고, 정보가 제시되어 있는 구조에 집중합니다.


문제를 같이 읽어볼까요?


1-1) 문제 읽기 - 구하는 값


우선은, 이 문제의 성격(유형)을 파악해야 합니다.


"오직 하나의 극값을 갖도록 하는 a의 최댓값"이라는 조건을 어떻게 해석할 것인지, <- 조건 해석

그리고 "주어져 있는 3개의 복잡한 함수를 어떻게 관찰할 것인지". <- 함수 관찰

즉, "조건 해석"과 "함수 관찰"이 중심이 되는 문제임을 알 수 있습니다.


다음으론, 문제에서 요구하는 답(혹은 구해야 하는 값)이 무엇인지 파악해서, 목표를 정해야 합니다.


"아, 결국엔 k를 구하고, 다항함수 적분을 하면 되는구나."


이 정도만 파악해도, 방향이 잡히기 시작합니다.


1-2) 문제 읽기 - 조건 해석 & 풀이 방향 설정


다음으론, 조건을 뜯어보아야 합니다.

이 문제에서 해석이 필요한 핵심 조건은 단 하나입니다.


"h(x)가 오직 하나의 극값을 가져야 한다."

이 조건에 집중해서 한 걸음씩 차분히, 논리를 엮어나갑니다.


이 문제가 어려운 또 한 가지 이유는, 이 조건 한 줄을 해석하는 데에도 필요한 개념과, 도구가 정말 많다는 사실입니다.

위의 "책 아이콘"이 표시되어 있는 줄은 각각 필요한 개념이 대응 되어 있고,

"스패너 아이콘"이 표시되어 있는 줄은 각각 필요한 도구가 대응 되어 있습니다.



2. 조건 목록



해석을 거친 뒤 뽑아낸 핵심은 이렇게 정리됩니다.

숫자와 식에 먼저 집착하기 보단, 이런 구조를 먼저 짜낸 뒤, 그 다음 세부 계산으로 들어가야 합니다.



이제, 본격적인 풀이 과정으로 들어가 봅시다.


3-1) 풀이 과정 - 함수 관찰

y = g(x)를 관찰하면 위와 같습니다.


왜 f(x)를 놔두고 갑자기 g(x)를 먼저 관찰하는 거지??

하는 의문이 드는 사람들도 분명 있을 것입니다.


아래의 글을 읽어보시길 바랍니다.


다음으론, f(x) 관찰입니다.



3-2) 풀이 과정 - 해석 1

f,g 각각에 대한 관찰을 마쳤으니, 이젠 이 둘을 함께 관찰할 필요가 있습니다.

위의 설명에 써 있듯이, 결국 우리는 "h(x)가 오직 하나의 극값을 가지도록 하는 a의 최댓값"을 구하고 있고,

h(x)가 극점을 가질 때는 y=f(x)와 y=g(x)가 위 그림처럼 교차(대소가 바뀜)할 때니까요.


"최댓값"을 구하고 있기 때문에, "그럼 a가 충분히 큰 값이면 어떤 상황이 벌어지지?" 라는 궁금증이 생깁니다.

그래서 a를 충분히 큰 값으로 두고, 두 함수의 교점을 파악해봅니다.


위의 경우엔, h(x)의 극점이 3개이므로, 극값이 아무리 적어도 2개는 나옵니다.

따라서, 조건에 부합하지 않는 경우라는 것을 알 수 있습니다.



3-3) 풀이 과정 - 해석 2

다음으론, a값의 경계(즉 f,g가 접할 때)를 구합니다.

우리는 "최댓값"을 구하고 있기 때문에, "최대가 될 수 있는 후보"를 추리는 과정입니다.




3-4) 풀이과정 - k 구하기

이제 최댓값 k를 본격적으로 구해봅시다.

위에서 경계가 a=1, a=4 두 가지라는 것을 알아냈습니다.

최대만 찾으면 끝이기에, 우선 a=4일 때를 확인해 봅니다.

그래프를 그려보니, 마침 이 때 조건을 만족하네요.


따라서 k=4임을 알았고, 적분 계산만 하면 끝입니다.


3-5) 풀이과정 - h(3) 구하기

세부 계산에 대한 설명은 생략하도록 하겠습니다.


3-6) 풀이과정 - 답

세부 계산에 대한 설명은 생략하도록 하겠습니다.


4. 부록


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이렇게 생각의 흐름을 따라와보니 어떠셨나요?

결국, 처음에 "구조"를 짜놓고 나서, "해석"이 끝난 뒤엔 자잘한 계산만 끝내면 되는 문제입니다.


누군가는 이런 문제를 보고 일단 미분부터 해보고, 일단 적분부터 해보고....

뭘 해야 하는지도 모른 채로 손부터 움직입니다.

그런 식의 접근은 결국 목적지가 없이 사방 팔방으로 뛰어다니는 것과 같습니다.


때로는 운이 좋아 그 계산의 끝에 답이 있었던 적도 있었겠지만,

설령 그렇다고 하더라도 이미 필요없는 불필요한 계산을 많이 해서 시간이 많이 소모된 후일 겁니다.


누군가는 이런 문제를 "파본 검사"를 할 때 슬쩍 보고, 본 종이 치기 전까지 머릿속에서 구조를 짭니다.

그리고 시험이 시작한 뒤에는 자잘한 계산만 하고 문제를 바로 끝내버리죠.

(이것이 옳고 그르냐를 떠나서, 문제를 바라보는 관점의 차이가 이 정도의 격차를 만든다는 것을 강조한 것)


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글이 도움이 되셨다면, 더 많은 분들이 볼 수 있도록 추천을 해주시면 정말 감사하겠습니다.


위의 사진들은 제가 개인 페이지에 정리해 놓은 것을 캡쳐해 올린 것이구요,

현재는 9,13,14,15번이 정리되어 있습니다.


위에 캡쳐한 것들 말고도 다양한 항목들을 통해, 문제를 충분히 뜯어볼 수 있도록 구성해놓았습니다.

궁금하신 분들은 아래 링크를 확인해주세요!


https://teamyd.oopy.io/?utm_source=orby


감사합니다.



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