심심해서 써보는 공통수학 칼럼 (구간별 다항함수로 정의된 함수)

Question

심심해서 첫 글로 은근히 자주 출제되어서 알면 계산이 확실히 줄어드는 수학 내용에 관한 칼럼을 준비해봤습니다.

우선 작년 수완실모에 실렸던 아래 문제부터 보시죠.

누구나 계산만 하면 당연히 풀 수 있는 문제죠? 서술의 편의상 p(x)=x, q(x)=x^2-5x+a라 했을 때 꽤 많은 학생들이 p(b-2)=q(b-2), p(b+2)=q(b+2)라는 방정식 2개를 열심히 계산해서 답을 냈을 것 같습니다.

그런데 여기서 방정식에 약간의 변형만 가해주면 같은 방정식을 새로운 함수를 주인공 삼아 다른 관점에서 얘기할 수 있습니다.

p(b-2) - q(b-2) = 0 그리고 p(b+2) - q(b+2) = 0 으로 변형해주면 p(x)-q(x)라는 함수가 (x-(b-2))와 (x-(b+2))인수를 각각 최소 하나씩 갖고 있다고 해석 가능하겠네요. 그러면 근과계수관계에 의해서 두 근의 합인 2b가 6이고 곱인 b^2-4가 a라고 받아들여 계산이 매우 간결해집니다.

이를 미분가능성까지 확장하면 아래와 같은 정리를 이끌어낼 수 있습니다.

이 정리는 계산과 추론이 복잡해질수록 엄청난 위력을 발휘하는데요, 이것을 아는 사람과 모르는 사람의 추론 난도와 풀이 길이가 극단적으로 갈리는 2025 ebs 봉투모의고사에 15번으로 출제되었던 아래 문제도 한번 봅시다.

바로 전의 3점 문제보다는 확실히 업그레이드 된 문제이죠? 우선 ebs에 실렸던 해설을 한 번 보겠습니다…

풀이 과정에 있어서 “또는“과 “-이면“과 같은 표현들이 빈번히 사용되면서 풀이의 호흡이 매우 길어보이네요…(틀려서 해설지를 펼치자마자 ebs 욕을 하면서 접어버린 학생들도 많았을 것 같네요)

그러나 우리가 새로 정리한 도구를 사용하여 아래 풀이와 같이 퍼즐이 딱딱 들어맞는 느낌을 받으면서 풀면 수학 문제가 한결 더 재미있게 느껴질 것도 같습니다.

출제자가 왠지 이것을 의도하고 출제하셨을 것 같은데 이런 해설이 해설지에든 강의에든 제시되지 않아서 조금 아쉽게 느껴졌던 기억이 있어서 오늘과 같은 칼럼을 준비해보았습니다.

앞으로도 시간적 여유가 된다면 올해 ebs에서 괜찮은 아이디어의 문제지만 해설이 약간 아쉽게 느껴지는 문제들 위주로 비슷한 글들을 올려보겠습니다!!

곧 3월인데 다들 힘냅시다!

ICKMYUNG · Accepted Answer

첫 번째 문제는 두 함수 그래프 그려서 풀었는데 빼는건 생각 안해봤네요. 좋은 글 감사합니다.

S1NHANA3Q · Answer

평균값정리의 뺀함수 아이디어...!

심심해서 써보는 공통수학 칼럼 (구간별 다항함수로 정의된 함수)

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