지수함수 일차함수 로그함수가 접할 때
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y=a의 x승이랑 y=x, y=loga의x 이 서로 접하는 때가 e의 1/e승이라는데왜 그런걸까요??
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2027 수능
D - 123
2015 개정 미적분
2022 개정 미적분2
를 배우면 알게 되실 거예요
알고는 있는데여…
그냥 궁금해서요…증명이 필요해여
두 함수는 증가함수이고 역함수 관계에 있어서 교점이 y=x 위에서만 형성됩니다. 따라서 접하는 것도 y=x에 지수함수가 접하는 상황이 만들어져요(어차피 로그는 역함수라 하나만 접하면 나머지도 자동입니다)
지수함수랑 y=x에 대해서
“만난다” -> a^x=x
“접한다” -> a^x ln a =1
이 두 개의 식을 얻을 수가 있는데, 정리하면
x= 1/ln a이고 "만난다“ 식에 다시 (좌변 쪽에만) 대입해 보면 e=x입니다.
그럼 ln a= 1/e이고, 따라서 조건을 만족하는 a는 e^{1/e}가 되겠네요.
감사합니다!!!