수학황님들 수1개념질문있습니다
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1. 증가하는 지수함수와 역함수인 로그함수의 교점은 두 개 이상 있을 수 있고 모든 교점은 y=x위에 있는 게 맞나요?
2. 감소하는 지수함수와 역함수인 로그함수의 교점은 0~1개이며 모든 교점이 y=x위에 있다 or 2개 이상 있을 수 있으나 그 중 하나만 y=x위에 있다 둘 중 어느 게 맞나요?!
3. 2-1이 맞을 경우 교점이 두 개라면 증가함수라고 판단해도 무방한가요?
그리고 또… f(x)=f(x+2)의 주기함수라면 최대주기가 2고 주기는 2/n (n은 자연수)중 어떤 것이든 될 수 있는 게 맞나요? 해설하실때 보면 저런 함수 나올때 그냥 주기 2라고 하시고 넘기시길래 복습하다 헷갈려서 여쭤봅니다
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님은 뱃지 그득그득달고있으면서 왜수알못행세하는데저거 f(x)=f(x+2)에서 주기가 항상 2만 가능한 건 아니란 건 잘 이해하고 계시네요. 다만 일반적으로 문제 상황에서는 일반적으로 2보다 작은 주기가 존재할 수 있음을 딱히 고려할 필요가 없기 때문에 해설에서 그렇게 서술한 것 같아요!
첨언하자면 일반적으로 고등학교 과정에선 'f(x)=f(x+a)를 만족하는 양수 a의 최솟값이 존재하는 함수 f(x)'를 주기함수로 봅니다. 저 '최솟값이 존재하는'이라는 조건이 없으면, 상수함수도 주기가 임의의 양의 실수인 주기함수로 볼 수 있다는 비직관적인 결과가 나오기 때문이죠.
1. 두 개가 최대, 교점은 y=x위
예를 들어 원함수와 역함수가 a에서 교점을 가진다 하면
f(a) = b f-1(a) = b인데
이건 f(a) = b f(b) = a로 바뀜
이때 함수가 증가함수이므로
a와 b가 다른 값이면 모순
2. 1개로 고정
이때 y=x위의 점
예를 들어 원함수와 역함수가 a에서 교점을 가진다 하면
f(a) = b f-1(a) = b인데
이건 f(a) = b f(b) = a로 바뀜
근데 교점이 하나 이므로 a=b
f(x) = f(x+2)면 최대 주기가 2가 맞음
그리고 주기는 2/n이면 됨
밑이 적당히 작은 양수면 교점 3개
ex) y=(1/16)^x는 (1/4,1/2) (a,a) (1/2,1/4) 지남