군붕이예습

Question

접평면의 기울기 후보를 왜 그래디언트로 잡고 가는 걸까?

처음에 교재에서도 설명 안 하고 다들 걍 넘어가는 느낌이길래 생각해봄

n공간에 잇는 다변수함수 z=f(X)

점 P에서 미분 가능한지 알고 싶다

즉 점 P에서 접평면이 존재하는지 알고 싶다

1. n공간에서 초평면의 기울기 벡터는 n-1개의 성분만 있어도 결정되잖슴?

2. 그리고 접평면이 존재한다면 점 P에서 어떤 방향으로 잘라도 함수랑 접평면의 단면끼리는 접함

이 두 사실을 조합하면, 점 P에서의 단면 n-1개를 생각해서 각 단면에서의 접선의 기울기들을 조사하면 기울기 벡터를 알 수 있는 거 아닐까?

그러니 점 P에서 가장 간단한 n-1개의 방향(즉 z축과 평행하지 않은 기저벡터와 z축과 평행한 벡터로 이루어진 이차원 평면)으로 공간을 잘라보자

이제 그 n-1개의 이차원 단면에서 점 P에서의 접선의 기울기 즉 편미분들만으로 접평면(존재한다면)의 기울기를 결정할 수 있는 거임

근데 그 편미분들 나열한 게 그래디언트이고

그래디언트를 그대로 기울기 벡터로 써도 문제 없는 형태로 공간이 예쁘게 잘려있음

그렇게 기울기 벡터는 그래디언트로 유일하게 결정

이제 z=gradf(P)•x+f(P)라는 초평면 작성

만약 (함수-초평면)이 |v|보다 빠르게 0으로 가면

모든 방향에서 함수랑 초평면이 접하는 거니까 접평면이 존재하고 기울기는 그래디언트이며 미분 가능

근데 v의 방향에 따라서 |v|보다 느리게/비슷하게 0으로 가는 상황이 발생하면 접평면이 존재하지 않아서 미분 불가능

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기하적으로 보면 그럴거같고 수식적으로 본다면 한 평면의 법선벡터를 잡아서 내적한 값이 0이다를 식으로 쓰면 그렇게 나올걸용

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