2025 고3 5모 미적분 후기 및 해설

안녕하세요 이번엔 2025 고3 5월 모의고사 미적분 후기 및 해설과 함께하는 구름정원입니다. 시간은 50분 정도 걸렸고, 귀찮아서 검토를 따로 안 했더니 22번 실수틀이네요; 여러분은 꼭 시간이 남으면 현장에서 검토 철저히 하시길 바라겠습니다... 바로 본론으로 넘어가죠

전체적으론 확실히 난도가 높은 편이라는 생각이 들었습니다. 4점 문제들이 웬만큼 다 빡빡했고, 준킬러/킬러 문제들도 상당히 어려운, 고난도의 시험지였던 것 같습니다. 1컷이 미적분 기준 75-78이고, 만표 156에 만점자가 200명 남짓인게 충분히 이해가 되는 시험이었습니다. 다만, 2405 같은 시험들에 비해서는 쉬운 것이 느껴졌던 것 같습니다. 그럼에도 상당히 어려운 문항이 많았기에, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 28, 29, 30번의 총 10문항을 함께 보려고 합니다.

12번은 로그함수 문제입니다. 12-13번 정도까지 비교적 주는 문제인 요즘 평가원 트렌드하고 다르게, 꽤나 난도가 있는 문제인 것 같아 들고 왔습니다. A의 x좌표를 알파로 잡게 되면, 넓이비를 활용해 점 B, 점 C의 좌표를 간단하게 나타낼 수 있고, 점들과 그래프 간의 관계를 이용해 알파, k, a, t 값들을 조건에 따라 순서대로 구해낼 수 있게 됩니다. 그래프, 직선이 엮인 함수 문제의 경우, 교점, 한 직선 위, 한 그래프 위 조건을 요리하듯 정리해 원하는 값을 도출하고자 하는 마인드를 가지면 좋습니다.

13번 문제는 자주 등장하는 정적분 형태 문제입니다. 다만, 비슷한 형태의 다른 문제들보단 생각할 부분들이 좀 있고, 계산도 복잡한 편이었습니다. x=3이 넓이를 이등분한다는 점을 통해, 미분계수를 구할 수 있고, 추가로 정적분 식도 깔끔하게 세울 수 있음을 캐치해야 합니다. 그 두 식을 찾았다면 후에는 f 식을 세워 계수들을 찾아내면 원하는 값을 도출할 수 있습니다. 기계적으로 정적분 문제에 접근하려 하지 말고, 면적의 개념에 관해 충분히 이해해 문제를 풀어나가는 태도가 필요할 것 같습니다.

14번 문제는 사인/코사인 법칙 문제입니다. 원과 원이 겹쳐 있을 때 닮음 삼각형이 생김을 이용해 길이를 한 문자로 정리하고, 코사인 법칙으로 그 문자를 구해 답을 도출해내는 과정으로 풀었는데... 훨씬 더 좋은 풀이가 있었네요 ㅋㅋ AE 보조선 그어서 코사인 값을 찾아주면 바로 CE가 나오는 구조의 문제더라구요. 도형 문제는 이렇게 다양한 해법이 있을 수 있고 일단 풀어내는게 중요하지만, 풀고 나면 다른 풀이들을 생각하고 비교해 더 효율적인 풀이법에 대해 항상 고민해보는 태도가 실력 상승 및 시간 단축에 중요하다는 것을 제 예시를 통해 꼭 유념하셨으면 좋겠습니다.

15번 문제는 수2에서 출제된 문제로, 공통 객관식 문제들 중에 가장 어려웠던 것 같습니다. 조건이 주어진 형태에 비해서는 깔끔하게 도출되긴 했지만, 그래도 꽤 잘 만든 문제라고 생각합니다. 조건을 통해 f(x)-x가 x=0을 중근으로 가짐을 알 수 있는데 (가) 조건에서 x=2를 근으로 가져야 함을 알 수 있고, (나) 조건에서 x가 4 또는 -4에서 함수가 바뀌어야 하므로 4 또는 -4가 근이여야 함을 알 수 있습니다. 그 후에는 각 경우별로 f, g를 구하게 되면 원하는 답을 도출할 수 있게 됩니다. (나) 조건이 함의하고 있는 정보가 많은데, 그 정보들을 놓치지 않고 활용하는 것이 중요합니다.

20번은 삼각함수 문제입니다. 그래프를 따로 그릴 필욘 없고, 식을 전개해 나가면서도 충분히 풀리는 문제였습니다. f, g에 k를 대입하게 되면 tan 값을 알 수 있게 되고, k가 양수여야 함에서 경우가 특정되어 구하고자 하는 답을 도출할 수 있게 됩니다. sin, cos, tan로 주어진 값들은, 각 삼각함수 사이의 관계식이 하나의 정보가 된다는 점을 활용해 문제를 풀어나가야 합니다.

21번은 수2 추론 문제입니다. 다만, 비슷한 다른 문제들에 비해서는 간단하게 경우가 특정된 것 같습니다. 극댓값과 극솟값의 차이가 4가 아니라면, 불연속점들이 따로 놀기 때문에 불연속점이 4번 나와야 합니다. 그러므로 자동으로 극댓값과 극솟값의 차가 4라는 것을 알 수 있고, t=4에서는 서로가 상쇄되기 때문에 연속이 된다는 점을 알 수 있습니다. 따라서 a=8이고, f(8)의 최소를 구해야 합니다. 0이 작은 근이냐 큰 근이냐는 그저 평행이동 관계일 뿐이므로, 0이 작은 근일 때 f(8)이 최소가 됨은 자명하고, 비율관계를 적절히 활용해주면 중근이 3임을 알 수 있어 답을 도출할 수 있습니다. 연속/불연속 조건들은 불연속이 언제 되는지, 불연속과 연속 혹은 불연속과 불연속이 만나 특수한 케이스가 이루어지지 않는지 항상 유의해서 살펴보아야 합니다.

22번 문제는 수열 문제입니다. 경우가 너무 복잡하게 나오지 않을까 걱정했는데 (가), (나) 조건에서 a1, a2, a3의 관계와 범위를 얻어낼 수 있었습니다. 그 뒤에는 a3가 a5까지 가는 데에 경우가 4가지밖에 되지 않으므로, 일일이 쪼개 각각의 경우에 대해 분석해주면 됩니다. 경우가 많지 않거나 특별한 경우가 아니라면 역추적보단 정방향으로 수열을 읽어가는 것을 추천드립니다. 가능한 a3 값을 구해 이를 바탕으로 a1 값을 더해주면 됩니다. 여담으로 처음 문제를 풀 때 실수로 한 경우가 안 된다고 생각해 제껴버려 틀렸습니다... 고난도 수열 문제를 풀 때는 항상 빠진 것이 없는지, 잘못 포함한 것이 없는지, 중복으로 센 것이 없는지 꼭꼭 검토하는 습관을 들이도록 합시다.

28번은 미분을 활용한 케이스 추론 문제였습니다. 25수능 30번 같은 느낌도 조금 받았던 문제입니다. 주어진 함수가 복잡하다는 것은, 그 함수의 전체 개형을 생각하기보단 필요한 정보들만 솎솎 골라내라고 할 가능성이 높습니다. (가) 조건에서 sin과 cos의 곱의 절댓값이 1이 된다는 점에서, 각 값들이 모두 1 또는 -1임을 알 수 있습니다. 이후 f(a)가 -1, 0, 1 중 하나임을 알 수 있고, 0이 불가능함은 자명하게 도출됩니다. (나) 조건, 양수 조건을 통해 f(a)가 -1임을 알 수 있고, a=4b임을 알 수 있습니다. 이후에는 a가 짝수(4로 나눈 나머지가 2)여야 하고, sin(a+b)가 -1임을 통해 a, b 값을 구할 수 있습니다. 전체적으로 굉장히 왔다갔다 해야하고, 일방향적 풀이가 아니라 단편적인 단서들로 경우를 좁혀나가야 하는 문제라 상당히 어려웠던 것 같습니다. sin cos이 -1과 1 사이여야 한다는 점을 유념하고 있다면, 삼각함수를 이용한 퍼즐성 미적분 문제들을 비교적 쉽게 풀어나갈 수 있게 됩니다.

29번은 미분을 활용한 도형 문제입니다. 고난도 도형 문제의 경우 도형의 넓이/길이 식이 원하는 문자로 깔끔하게 떨어지지 않는 경우가 많습니다. 그럴 때에는 당황하지 말고 빠르게 다른 문자를 하나 더 잡고, 그 문자와 원하는 문자 사이의 관계를 미분을 통해 구하게 되면 대개 풀리게 됩니다. 다양한 해법이 있을 수 있겠지만, 저 같은 경우에는 각 CBP를 문자로 잡아 해당 문자와 세타 사이의 관계를 사인 법칙으로 세우고, 계산을 통해 풀어나갔던 것 같습니다. 도형 문제에서 어떤 문자를 잡아야할지 잘 보이지 않는다면, 원하는 식을 깔끔하게 만들어주는 문자, 사인/코사인 법칙 등으로 정리하기 용이할 것 같은 문자를 잡아주면 좋습니다.

30번은 급수 문제입니다. 수열이 모든 항이 양수인 등비수열이므로, b가 -1의 거듭제곱꼴이다가 등비수열이 되거나, 그 반대의 경우가 되어야 함을 인지해야 합니다. 무한급수가 수렴하기 위해선 항이 0으로 수렴해야 하는데 b가 등비수열이다가 -1의 거듭제곱 꼴이 된다면, (가) 조건 급수 내 식이 0으로 수렴하지 않음을 알 수 있습니다. 따라서 공비는 양수여야 하고, 급수 내 식이 딱 0이 되어야 함을 알 수 있습니다. 이를 바탕으로 공비가 3임을 알 수 있습니다. 다음으로 (나) 조건에서 등비중항이 성립하지 않으므로 b4, b5, b6 중 적어도 하나는 -1의 거듭제곱 꼴이고, b4가 확정적으로 1임을 알 수 있습니다. 이후 b5가 -1이냐 등비수열의 일부냐로 경우를 나눠 b5 값을 찾고, a3 값을 찾을 수 있습니다. 수열 문제는 종종 경우를 일일히 나누는 노가다 문제처럼 보이지만 그 속에 수학적 직관을 발휘하면 경우를 영리하게 탐색할 수 있는 경우가 많습니다. 

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