지수, 로그 그래프 문제에 대하여 (feat. 260622)
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내가 수학 강사나 고수는 아니지만 내 말을 좀 들어 보십쇼. 주장을 한 번 해볼게요.
직선과 평행이동된 두 함수 관련 문제에 대하여
정보 처리 측면에서 분석을 해보자.
위 사진과 같은 간단한 상황을 만들어 왔다.
위 상황에서 주어진 정보는 두가지이다.
1. 직선과 2^x함수가 점 A에서 만난다.
2. 직선과 2^(x-1)-1함수가 점 B에서 만난다.
이를 처리하는 방식이 두 가지 있다.
정보처리빙식1
각 조건에서 곧바로 등식을 얻을 수 있다.
조건1로부터 2^p=1-p
조건2로부터 2^(q-1)-1=1-q 등식을 얻어 내고
이로부터 q=p+1을 얻어 낼 수 있다.
정보처리방식2
주어진 조건1과 조건2를 기반으로
특정한 논리(평행이동의 대응점 어쩌구)를 적용해서
q=p+1이라는 조건을 보다 빠르게 얻어 낸다.
나는 정보처리방식2의 위상을 문제 풀이의 열쇠가 아니라 도구로 보고 싶다.
정보처리방식1로 풀면 등식을 세우고 이로부터 q=p+1 얻어 내야 하는데
그것을 생략할 수 있는 도구 정도로 말이다.
좀 더 구체적으로
정보처리방식2는 특정한 논리에 의해 결론이 도출되는 방식이기 때문에
그러한 논리가 성립되기 위한 요건이 필요하다. (요건의 존재 자체가 중요한 것이라 대충 서술함)
i. 두 그래프가 합동이고 평행이동된 상태
ii. 평행이동의 정도와 직선의 기울기가 일치하는 상태
...
정보처리방식2는 위와 같은 요건이 만족되면
정보처리방식1의 연립계산을 생략할 수 있는 도구이다.
(1, 3번식 처리는 이 글의 주제가 아니니 생략하고)
2번 식을 보아라! 정보처리방식1과 동일하게 풀리지 않는가.
이 문제에선 정보처리방식2를 적용하기 위한 요건을 만족하는 두 그래프가 주어지지 않았다.
하지만 문제풀이에는 문제가 없다. 그저 계산을 생략하는 도구(정보처리방식2)를 못 쓸 뿐이다.
(물론, 점 A의 자취를 이용해 요건을 만족시킬 수 있지만, 보면 좋고 못봐도 그만이란 것이다.
그것은 이 문제를 풀어내는 열쇠가 아니라 계산을 생략하기 위한 도구일 뿐이니까.)
그냥 정보처리방식1로 풀어 내면 된다는 것이다.
까지가 주장 끝이다.
이런 주장을 하게 된 이유!
1. 지수, 로그 함수 그래프 문제를 풀 때 흔히 그래프 사이의 관계를 파악하곤 한다.
그렇게 하는 이유를 찾고 싶었다.
단순히 "그렇게 하면 문제가 풀리니까, 그렇게 배웠으니까" 이런 결론은 맘에 들지 않았다.
그래서 문제가 풀리는 과정을 면밀히 분석했다.
그 결과, 문제의 조건을 "그대로 직접" 처리해 바로 등식을 얻는 정보처리방식1 같은 풀이가 가장 기본이 되고
(수2미적에는 특히, 바로 등식을 얻지 못하는 조건이 빈출된다. 이때는 추론이 필요한데 이 글의 주제는 아니니 생략)
이외의 정보 처리는 여러 요건이 만족되었을 때 풀이를 단순하게 해주는 것뿐이라는 것을 발견했다.
이런 발견을 공유해 나와 같은 이런 의문, 불편함을 가진 사람들을 도와 주고 싶었다.
2. 점의 자취 풀이가 다소 발상적으로 느껴젔다. 다른 풀이를 찾고 싶었다.
점의 자취를 이용하는 풀이의 근거를 억지로 찾을 수는 있겠으나...
솔직히 점의 자취를 이용해 푼 사람들도 추론/설계보다 직관이 크지 않았을까
(물론 점의 자취의 풀이도 열심히 학습했다. 풀이를 편식하자는 글이 아니다)
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