200928(나) 해설 제시
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한 2년전, 이 문제를 처음 공부할 때
(나)식을 1/c = 1/b + 1/2a 로 정리하고 (가)식도 1/a=~ , 1/b= ~ 이런 식으로 정리해 깔끔하게 푸는 풀이를 접했었는데
다소 빌상적으로 느껴졌다. 갑자기 주어진 식을 어떻게 저리 조작할 생각을 하는가?
과거의 나와 같은 생각을 가진 사람들에게 이 문제의 자세한 해설을 제시하고 싶다.
1. (가)의 식을 =p로 두고 정리한다.
이는 연쇄하는 등식을 만났을 때 보편적인 풀이 방법이다, 몰랐다면 외우자.
식을 p로 정리해 연립 편의성을 높이겠다는 의도이다.
식을 정리한 후, 위 세 식(a=~, b=~ c=~)과 (나)식을 연립해 k값을 구하는 것이 풀이의 큰 틀이다.
다만, 식이 3개, 문자가 4개라 각 문자를 구하지는 못하고 k값만을 확정할 수 있을 것이라 예상할 수 있다.
2. 연립하는 경우의 수를 생각해보자.
이 문제에선 달리 할게 없다. 할 수 있는건 가지고 있는 식을 연립하는 것뿐이다.
연립하는 경우의 수를 따질 것도 없다. 그냥 (나)식을 약간 정리한 ( 2a + b ) c = 2ab에 (가)를 정리한 식들을 대입하는 것뿐이다.
대입해보자.
대입하면 파란 부분의 식이 나온다.
이 식을 정리해 k를 구하기만 하면 되는 문제이다.
3. 식을 정리해 k를 구하는 경우의 수를 생각해보자.
일단 곱으로 묶인 부분을 전개해보자.
아무것도 되는게 없다. 인수분해 각도 안보인다.
로그 관련 식을 계산/정리할 때는 밑을 통일하는게 우선이다.
개냠적으로는 로그를 계산하기 위한 전제는 밑이 같아야 하고
문제풀이 측면에서는 밑을 통일하는 것이 로그 관련 식을 다루는 보편적인 풀이이다. 몰랐다면 외우자.
이후 3, 5, k, p 뭐로든 밑을 통일하고 식을 정리하면 k를 구할 수 있다.
무엇으로 통일할지 고민하는 과정에서 p가 많이 반복되니까 p가 좋자않을까..하는 생각을 해줬다면 이상적이다.
문제를 많이 풀다보면 제시한 풀이 1, 2, 3의 과정을 무의식으로 거치면서 풀게 되는데
문제 풀이 숙련도가 낮은 경우 이러한 사고과정을 모르고 그 결과인 풀이만 듣게 되면
2년전 나처럼 풀이가 디소 발상적으로 느껴질 수 있다.
이 글을 보고 그러한 문제가 해결되었으면 좋겠다,
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Update
첫 풀이로 처음에 풀었었었는데
시간이 지나고 생각해보면
그리 발상적이지 않은 걸지도 모르겠음.
부분 분수들 많이 내는 거 보면..
사실 숙련되면 1,2,3 과정 10초 내외로 슈슉 생각하고
말씀하신 (나)식을 분수 조작하는 경우까지 생각해서
깔끔하게 풀 수 있죠.