합성함수의 미분가능성 질문

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f(g(x))가 x=a에서 미분가능한지 판단하려면 도함수 g'(x)f'(g(x))의 x=a에서의 좌극한과 우극한이 같은지 확인하면 된다고 하는데요, 그런데 엄밀하게는 도함수가 x=a에서 함수값이 정의되지 않을 수도 있고, 미분계수가 존재한다면 그래도 미분가능한데 존재하지 않는다면 미분 불가능하지 않나요? x=a에서 도함수의 좌극한과 우극한이 같다는 것이 x=a에서의 미분계수 값의 존재를 보장하는지 여부가 궁금합니다.

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해돌 [1320153]

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NeurIPS · 1277071 · 25/12/15 10:33 · MS 2023 (수정됨)

애초에 함수값이 정의가 안 되는 곳에서 미분가능성을 논하지 않습니다

그리고 미분계수 자체가 극한이라 우극한, 좌극한의 일치가 극한값 존재를 말해주기 때문에 미분계수도 당연히 존재합니다

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해돌 · 1320153 · 25/12/15 10:36 · MS 2024

미분계수의 좌우극한과 도함수의 좌우극한이 같은거라는 말씀이신가요?

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NeurIPS · 1277071 · 25/12/15 10:50 · MS 2023 (수정됨)

아니요

정의를 다시 보는 걸 추천합니다

제가 글을 좀 오해한 듯한데,

엄밀하게 따지면 도함수의 우극한 != 우미분계수라서 그렇게 말하면 안 됩니다

글 내용에서 마지막으로 하나 말하자면 “도함수가 a에서 정의되지 않는다“와 “a에서 미분계수(극한)가 정의되지 않는다“가 동치입니다

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해돌 · 1320153 · 25/12/15 10:57 · MS 2024

답변 감사합니다.

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우울정병도태한남 · 1332051 · 25/12/15 10:39 · MS 2024

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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올모 · 1042878 · 25/12/15 10:44 · MS 2021

이분이 물어보시는건 도함수의 좌우극한이 같으면서 불연속인 함수인데, 예를 들어 매끄러운 함수에 구멍이 하나 뚫려있는거요.
이때 도함수의 극한은 존재한다고 말할 수 있음.
하지만 미분계수가 존재한다고는 말할 수 없음.

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해돌 · 1320153 · 25/12/15 10:45 · MS 2024

네. 제가 궁금한 것을 정확하게 말씀해주셨습니다.

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올모 · 1042878 · 25/12/15 10:47 · MS 2021

이때 도함수의 우극한과 우미분계수 역시 다르고
좌극한과 좌미분계수도 달라요
가끔 헷갈리는 학생들 많은데 질문 잘하셧음

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해돌 · 1320153 · 25/12/15 10:49 · MS 2024

그렇다면 원래 함수가 연속함수일때 이런 도함수를 가질 수 있나요? (도함수가 x=a에서 극한값을 갖지만 원래 함수의 x=a에서 미분계수 값이 존재하지 않는)

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올모 · 1042878 · 25/12/15 10:55 · MS 2021

그런건 존재하지 않음
다만 미분계수가 존재하는데 도함수의 극한은 존재하지 않는 유명한 함수는 있음

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해돌 · 1320153 · 25/12/15 10:58 · MS 2024

답변 감사합니다.

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해돌 · 1320153 · 25/12/15 11:04 · MS 2024

그래서 교재에 연속함수인지 확인하라고 써있던거군요.. 제미나이한테 물어보니 평균값정리로 설명해 주던데 이해가 된거 같습니다

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올모 · 1042878 · 25/12/15 12:02 · MS 2021

정의를 그대로 받아들이시는게 제일 좋아요
미분계수의 정의에 대한 이해가 충분하면 안헷갈림

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루나 R · 1218525 · 25/12/16 12:41 · MS 2023

미분계수의 정의가 아닌 도함수의 극한의 일치여부로 미분 가능을 판정할 때는 그 지점에서의 연속성을 우선 체크해야 합니다.

그리고 좌, 우 미분계수와 도함수의 좌 우 극한을 보는것이 같냐라는 질문은 일반적으로는 같습니다. 물론 이 질문을 하기전에 연속성은 체크해야 합니다

예외는 x제곱×sin(1/x)과 같은 무한진동함수인데 수능수학에 출제되지는 않습니다

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