[지2] 회합주기 심화

■  지2 칼럼 모음 : https://orbi.kr/00075642632  

안녕하세요. 지2 네번째 칼럼입니다.

사실 이 파트는 어려운 문제는 별로 없는데, 공식화시켜서 조금 더 빠르게 풀 수 있는 부분이 있어서 소개하고자 합니다. 그냥 이런 방법도 있다~ 정도로만 봐주시면 좋을 것 같습니다.

문제로 들어가기 전에 기본 공식부터 정리하도록 하겠습니다.

S : 회합주기

E : 지구의 공전주기

P : 행성의 공전주기

이건 수능특강에도 실려있는 공식이기에 다들 알고 계실겁니다.

이 공식에서 E는 1이고 P를 알면 S를 알 수 있으니 S를 f(p)라고 할 수 있습니다. 따라서 위의 식을 변형하면

이러한 식을 얻을 수 있습니다. f(p)를 그려본다면

상당히 익숙한 모양의 그래프를 얻을 수 있습니다.

수능특강 및 여러 개념서에서 소개하는 그래프는 가로축이 아마 공전 궤도 반지름일텐데 이 그래프는 가로축이 공전 주기입니다. 케플러 법칙에 따르면 공전주기는 장반경에 어느정도 비례하므로 비슷한 그림을 얻을 수 있습니다.

이 그래프에는 회합주기만 그려져 있는데 공전주기와의 비교를 위해 공전주기의 그래프도 같이 넣어보겠습니다.

가장 먼저 눈에 띄는 부분은 당연히 두 그래프의 교점입니다. 

저 교점은 P=2일 때인데 P=2를 기점으로 공전주기와 회합주기의 대소관계가 뒤바뀝니다. 

이론 설명은 여기까지 하고 바로 문제로 넘어가도록 하겠습니다.

#240720

순수 회합주기 문제 중 기본적인 수준의 문제입니다. 

행성과 관련된 문제를 풀 때는 제시된 행성이 가상의 행성인지 실제 행성인지 파악하는 것이 중요합니다. 명시되어있지 않더라 하더라도 관측값을 제시해줬다면 가상의 행성을 관측할 수는 없으니 실제 행성일겁니다. 실제 행성이라면 우리가 알고 있는 배경지식으로 단서를 얻을 수 있을 것이고, 그렇지 않다면 분명 추가적인 정보가 더 있을 것입니다. 

이 문제에서는 가상의 행성으로 주어졌으므로 배경지식을 사용할 수 없습니다. 문제를 쭉쭉 읽어보면 A의 공전주기와 B의 공전주기, 그리고 C의 회합주기와 그에 대한 추가적인 정보를 얻을 수 있습니다. 공전주기-회합주기 그래프에서 볼 수 있듯이 회합주기는 공전주기에 대한 함수입니다. 물론 역함수는 없습니다. 따라서 공전주기를 알면 회합주기를 알 수 있지만 회합주기를 안다고 해서 공전주기를 알 수는 없습니다. 따라서 회합주기 문제를 풀 때의 첫번째 목표는 모든 천체의 공전주기를 찾는 것입니다. 

이 문제에서는 C의 회합주기를 준 대신 추가 정보를 제공하여 경우의 수를 하나로 줄일 수 있게 하도록 설계되어있습니다. A의 공전주기가 1년인걸 보니(아마 지구인듯) A를 기준으로 해서 그래프를 그려보는 것이 좋을 듯 합니다. 

B에서 측정한 C의 회합 주기가 1년보다 짧다는 정보가 제시되어 있습니다. 이건 굳이 계산을 할 필요도 없는 게 A에서 B를 봤을 때의 회합주기가 1년보다 큰데 C2는 A보다 B와의 공전 각속도 차가 더 작으니 회합주기가 무조건 1년보다 큽니다. 따라서 C는 C1입니다. C1일때의 공전주기를 구해본다면 1/2 = 1/P - 1니까 P는 2/3입니다.

ㄱ. A에서 관측한 B의 회합주기는 1년보다 깁니다. 계산해보면 6/5년이 나옵니다.(x)

ㄴ. C의 공전 주기는 2/3년입니다. (ㅇ)

ㄷ. A가 C보다 공전 주기가 기므로 공전 궤도 반지름의 길이도 A가 깁니다.(ㅇ)

다음 문제로 넘어가도록 하겠습니다.

#191120 지1

순수 회합주기 문제 중 가장 어려운 문제라고 생각합니다. 개정 이전 지1에 있던 문제임에도 불구하고 지금 내놔도 손색이 없을 것 같습니다. 

직접적으로 제시된 자료는 A의 공전주기와 지구에서 관측한 B와 C의 회합주기입니다. 지구에서 관측한 회합주기니 각각의 행성의 공전 주기를 어느 정도 추정할 수 있습니다. 어떤 두 행성의 회합주기가 길다는 것은 두 행성의 공전 주기가 비슷하다는 뜻입니다. A에서 측정한  C의 회합주기가 B에서 측정한 C의 회합주기의 3배이므로 C가 B보다 A에 가까이 있음을 알 수 있습니다.

참고로 A에서 관측한 B의 회합주기와 B에서 관측한 A의 회합주기는 같은 말입니다. 두 값이 다르다면 어떻게 될지 상상해보시면 쉽게 알 수 있습니다. 

회합주기가 1년보다 긴 행성의 공전주기는 2가지 값이 가능합니다. 내행성일 경우와 외행성일 경우입니다. B와 C의 공전 주기를 구해야 문제를 풀 수 있으니 가능한 경우의 수는 4가지입니다. 

참고로 18학년도 수능 지구과학1의 1등급 커트라인은 45점입니다. 당시 기준으로 쉽지 않았던 시험입니다. 그런 상황에서 4가지 경우의 수를 전부 해보는 것은 어지간한 지구과학 고인물이 아닌 이상 무모한 도전입니다. 실제로 4가지 경우의 수를 전부 하는 건 무리고 A가 C에 가까이 있다는 점을 힌트로 삼아서 경우의 수를 약간 좁힐 수 있습니다. 그럼에도 많은 경우의 수가 남아있습니다. 

여기서 아까 소개한 공전주기-회합주기 그래프를 이용하여 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

표에 제시된 소행성들의 정보를 바탕으로 그래프를 그려보면 확정된 A와 y=1.5, y=3과 회합주기의 교점 4개를 확인할 수 있습니다. A가 B보다 C에 가깝기 때문에 C1이 C라는 것을 바로 알 수 있습니다. C의 회합주기가 1.5년이기 때문에 C의 공전주기는 0.6년입니다. 

C의 공전주기를 확정했으니 C에서 관측한 회합주기가 A가 B의 3배라는 점을 이용하면 B의 공전주기까지 구할 수 있을겁니다. 여기서 직접 계산을 통해서 B의 위치를 확인할 수도 있지만 그림상으로도 어디가 B인지 확인할 수 있습니다. 

만약 B1이 B라고 하면 A와 C 사이의 공전주기 차이와 B와 C의 공전주기 차이가 거의 같아집니다. 따라서 회합주기가 3배나 차이나기는 매우 힘들어집니다. 만약 문제에서 B의 정보를 정량적으로 계산하라고 묻지 않고 위치 관계 정도만 물어보았다면 손쉽게 넘어갈 수 있었을겁니다. 

4가지 케이스를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

ㄱ은 이번 칼럼의 주제와는 맞지 않는 선지기 때문에 판단하지 않겠습니다. 선지 배치상 무조건 틀린 선지긴 합니다.

ㄴ. B의 공전궤도 반지름을 물었습니다. B의 공전주기는 1.5년입니다. A와 B의 공전주기 비는 1 : 3이므로 장반경 비는 P²=a³에서

1 : 3^2/3입니다.(ㅇ)

ㄷ. C는 내행성입니다.(x)

사족이지만 소행성 C는 아마 금성이지 않을까 싶습니다. 실제 금성의 공전주기가 약 0.62년이기 때문에 많은 사설 문제에서 공전주기 0.6년인 상황을 출제하고 있습니다. 공전주기가 0.6년이면 회합주기가 1.5년인 것도 알아두도록 합시다.

실전개념 정리하고 칼럼 마무리하겠습니다.

■ 회합주기는 공전주기에 대한 함수다. 회합주기의 정의역은 1이 아닌 양수고 역함수는 없다.

■ 회합주기 문제를 풀 때는 각 행성들의 공전 주기를 구하는 것을 최우선 목표로 한다.

■ 공전주기가 2년보다 작으면 회합주기가 공전주기보다 작고 2년보다 크면 공전주기가 회합주기보다 크다.

■ 공전 각속도 차가 작을수록, 즉 두 행성의 공전 궤도가 가까이 있을수록 회합주기는 커진다.

■ 공전주기-회합주기 그래프를 이용하면 직관적으로 답이 되는 케이스를 찾을 수 있다.