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슬기조아 [877879] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2025-11-20 21:01:20
조회수 130

[칼럼] '케이스 분류 공포증' 뚜까패기 3-1 (feat. 26수능 수학 21번)

게시글 주소: https://orbi.kr/00075710192

  안녕하세요. 케이스 분류를 이 세상에서 제~일 싫어하는 슬기조아입니다. \(^0^)/ -- ☆

앞의 두 칼럼에서는, 변수가 두 개 이상일 때의 케이스 분류 상황에서, 범주화가 가지는 의미를 알아보았습니다.

범주화란 것은 결국, 그 행위 자체가 목적일 뿐, 기준 설정에 대해 너무 걱정하시며 얽매이실 필요는 없다는 걸 말씀드렸죠.


 --- 지난 칼럼 ---

[칼럼] '케이스 분류 공포증' 뚜까패기 (feat. 26수능 수학 21번) (링크: https://orbi.kr/00075686330 )

[칼럼] '케이스 분류 공포증' 뚜까패기 2 (feat. 26수능 수학 21번) (링크: https://orbi.kr/00075705768 )

 -*-*-*-*-*-*-


  '기준 설정'을 어떻게 하느냐에 따라서, 문제풀이 과정에서 복잡함의 정도가 그렇게 큰 폭으로 달라지지는 않습니다.

하지만 그렇다고 해서, '기준을 그냥 아무렇게나 무작위로 두자'는 의미는 결코 아닙니다.

'너무 심각하게 고민하지 말라'는 것과, '아예 고민하지 말라'는 것은 다른 의미니까요.


  기준을 어떤 방법으로 정하든, 어지간하면 문제는 다 풀리긴 풀릴 겁니다.

하지만 문제를 풀어나가는 과정에서 스스로에 대한 확신은, 의도만 있다고 생기는 게 아니기도 하죠.

매번 무작위로 기준을 설정하여 풀면, 아무리 범주화를 했다고 해도... 시험장에서는 다소 찜찜하겠죠?

아무리 스스로 "확신을 갖자, 의심하지 말자"고 다짐한다 하더라도요.


  그래서 이번 칼럼은, 이러한 상황에서 우리가 가질 수 있는 나름대로의 [근거]를 다루는 칼럼이 되겠습니다.

[근거]는 곧, 자신감과 확신으로 이어집니다. 설령 그 [근거] 또한, 어디까지나 우리들의 주관에 불과할지라도요.


  이번 칼럼의 주제는 "범주화 과정에서 각 변수의 중요도를 판단할 때, 본인만의 [근거]를 찾자!" 입니다.

잘 부탁드립니다.


  일단 지난 풀이와 마찬가지로, 조건해석이 끝난 상황에서의 문제지를 깔아두고 시작하겠습니다.


  이제 익숙한 그림이죠? (~_~)/

일단 t의 경우, [ t=0 ] 또는 [ t=2 ] 또는 [ t=k ] 으로, t값의 후보는 이미 추려진 상황입니다.


  이번 칼럼에서는 문제풀이가 아닌, 범주화 과정에서의 [근거]에 관한 내용을 다뤄봅시다.

그러면 먼저, 제가 변수들 사이의 우선순위를 나누는 과정에서 했던 사고과정을,

구어체로 디테일하게 풀어내어 보여드리겠습니다.


  이전 칼럼에서, 특정 변수의 범위를 분할하여 케이스를 나눌 때, '경곗값 정하기'에 대해 말씀드린 적이 있죠.

이 때 고려할 사항 두 가지로, [해당 변수의 역할]과 [현재 우리가 가져야 할 최대의 관심사]를 제시했는데요.

변수들의 중요도를 비교할 때는, [위의 두 가지]와 함께, [케이스 분류 과정에서의 편의성]까지, 총 세 가지를 [근거]로 둘 수 있습니다.

제 첫 번째 칼럼의 현장 풀이 사고과정 역시, 

[ 중요해보이는 역할 = 목표(관심사)에 직결되는 것 ]과, [ 케이스를 잡기 편한 것 ]을 근거로 들며 기준을 정했습니다.



  편의성은 말 그대로 '더 편리해보이는 정도'로, 위 세 가지 중에서 제일 가변적이고, 덜 중요한 항목입니다.

때에 따라선 고려하지 않으셔도 무방합니다.

그럼 저는 편의성을 따질 때 어떤 지점들을 주목하는지 대표적인 것들을 말씀드리겠습니다.

1. "해당 변수로 범주를 설정한다면, 경곗값을 잡기가 편한가?" - 당연히 편할수록 좋음

2. "해당 변수로 범주를 설정한다면, 각 범주간의 구분이 명확한가?" - 명확할수록 중복/누락 위험이 감소함

3. "해당 변수로 범주를 설정한다면, 범주의 종류가 몇 가지인가?" - 적을수록 좋음


근데 막상 세부항목을 나열해보니 뭔가 좀 많아 보이죠?

저건 어디까지나, 고려해볼 수 있는 기준일 뿐이지, 꼭 고려해야만 하는 기준이 아닙니다.

저걸 하나하나 다 O, X 표시해가며 채점하듯이 판단하는 건 절대 아니라는 뜻입니다.


  실전 상황에서는, 저도 저것들을 전부 다 고려할 수 없습니다. 그러할 필요도 없고요.

마치 매뉴얼처럼 적어두었지만, 실전에서는 저걸 순서대로 하나씩 고려할 수 없습니다.

오래 고민하지 않는 것이 핵심입니다.

눈에 띄는 몇 가지만 고려하시는 걸로도 충분합니다.

그 몇 가지 [근거]만으로도 우리는 충분히 확신을 가질 수 있고, 그거면 됩니다.

시험장에서 우리의 목표는 '최악을 면하는 것'이지, '최선의 풀이법'을 찾는 게 아니니까요.

시험장에서는, '최악'의 여집합이 곧 '최선'이라는 것을 강조드리며,

제가 변수를 바라보는 (제 개인적인) 관점을 보여드리겠습니다.



  우선 위의 내용을 바탕으로, 하나씩 디테일하게 분석해보았을 때의 제 생각입니다.(실전 아님)


 1. l 에 관하여

 - 역할: 변수 l은 y=h(x) 그래프의 기울기를 결정하는 역할을 가집니다.

즉, 함수 그래프의 '모양'을 결정하는 역할이군요.


 - 관심: 지금 우리의 최대 관심사는, "h(m)<0인 자연수 m"의 분포입니다.

따라서, 기울기의 값보다는, 부호가 중요하겠네요.

변수 l의 부호는 양수이며, y=h(x) 그래프의 양쪽 구간에서의 기울기 부호 또한 각각 정해져 있습니다.

l의 값이 달라져도 부호가 변하지 않는다면, 우리의 관심사와 크게 관련이 없겠네요.

  사실 이미 [역할+관심]에서 뒤로 밀려난 변수라는 걸 아시겠죠? 실전이라면 더 고려할 필요 없겠습니다.


 - 편의: 만약 l의 값으로 케이스를 나눈다면, 경곗값을 어떻게 설정할지 명확하지도 않고, 불편합니다.

따라서 범주의 개수도 알 수 없습니다.


 2. t 에 관하여

 - 역할: 변수 t는, 어느 지점을 기준으로 하여 함수 h(x)의 식이 달라질지, 그 경곗값에 해당하는 역할을 가집니다.

즉, 함수 그래프를 왼쪽/오른쪽 방향으로 이동시킨다고 볼 수 있겠군요.

함수 그래프의 '위치'를 결정하는 역할이 되겠습니다.


 - 관심: 지금 우리의 최대 관심사는, "h(m)<0인 자연수 m"의 분포입니다.

변수 t와 변수 k는 함께, 자연수 m값이 존재할 수 있는 범위의 경곗값을 결정하게 될 것 같네요.


 - 편의: t값의 경우, 이미 위에서 [ t=0 ], [ t=2 ], [ t=k ] 와 같이 후보가 추려진 상황이므로, 편리합니다.

또한, t값에 관한 케이스분류는 '범위'가 아닌, 특정 값에 t가 대응되는 구조이기에,

각 범주마다 x=t와 y축을 고정시켜 둔 채로, k값만을 이동시키며 그래프 개형을 달리 하면 되니, 편리하며 명확합니다.

그리고 범주는 총 3개로 나뉘겠습니다.


 3. k 에 관하여

 - 역할: 변수 k는, y=h(x) 그래프의 x절편 값에 해당합니다.

즉, 함수 그래프의 '모양'을 결정하는 역할이군요.


 - 관심: 지금 우리의 최대 관심사는, "h(m)<0인 자연수 m"의 분포입니다.

k의 값은, 함수 h(x) 함숫값의 부호가 바뀌는 점들 중 하나인, x절편에 해당합니다.

따라서 변수 k와 변수 t는 함께, 자연수 m값이 존재할 수 있는 범위의 경곗값을 결정하게 될 것 같네요.


 - 편의: k값을 기준으로 범주를 설정한다고 해보면,

t값 후보군들에 포함되는 0과 2를 기준으로 하여 범주를 5개로 나누는 것보단,

t와 상대적인 위치를 고려하여, t와의 대소관계를 통해 범주를 3개로 나누는 것이 편리할 것입니다.

또한, 위처럼 t와의 대소관계를 통해 범주를 나누어야만, 각각의 범주가 그래프 개형과 명확하게 연결됩니다.

따라서 범주는 총 3개로 나뉘겠습니다.


4. g(-1)과 -7g(1)/2의 대소 관계

 - 역할: ???


 - 관심: 이게 y=h(x) 그래프와 무슨 연관이 있죠?

아예 독립적이진 않겠지만, 현재 우리의 관심사와 직접적으로 뚜렷하게 연결되지는 않습니다.


 - 편의: 저걸로 범주를 나눈다면, 어떻게 써먹어야 할 지 모르겠어서, 불편하네요.

만약 나눈다면 범주는 총 2개로 나뉘겠습니다.



  하지만, 실전에서 이걸 다 따지면 절~~~대로 안됩니다.

아 물론, 각 변수들의 역할은 범주화와 무관하게 항상 체크하시는 게 맞습니다만,

그 이외의 사항들은 보통 '중요도 매기기'와 '범주화'에만 쓰이는 것이기에,

시험장에서는 위의 내용을 전부 머릿속에 떠올릴 필요가 없습니다.


그럼 제가 수능 시험장에서 변수들을 보며 실제로 했던 생각들만 남기고, 나머지는 전부 지워보겠습니다.

--슥슥슥슥--






짠! \(^0^)/ -- ☆


1. l 에 관하여

- 역할: 변수 l은 y=h(x) 그래프의 기울기를 결정하는 역할을 가집니다.

즉, 함수 그래프의 '모양'을 결정하는 역할이군요.


 - 관심: 지금 우리의 최대 관심사는, "h(m)<0인 자연수 m"의 분포입니다.

따라서, 기울기의 값보다는, 부호가 중요하겠네요.

변수 l의 부호는 양수이며, y=h(x) 그래프의 양쪽 구간에서의 기울기 부호 또한 각각 정해져 있습니다.

l의 값이 달라져도 부호가 변하지 않는다면, 우리의 관심사와 크게 관련이 없겠네요.

  사실 이미 [역할+관심]에서 뒤로 밀려난 변수라는 걸 아시겠죠? 실전이라면 더 고려할 필요 없겠습니다.


 - 편의: 만약 l의 값으로 케이스를 나눈다면, 경곗값을 어떻게 설정할지 명확하지도 않고, 불편합니다.

따라서 범주의 개수도 알 수 없습니다.


 2. t 에 관하여

- 역할: 변수 t는, 어느 지점을 기준으로 하여 함수 h(x)의 식이 달라질지, 그 경곗값에 해당하는 역할을 가집니다.

즉, 함수 그래프를 왼쪽/오른쪽 방향으로 이동시킨다고 볼 수 있겠군요.

함수 그래프의 '위치'를 결정하는 역할이 되겠습니다.


 - 관심: 지금 우리의 최대 관심사는, "h(m)<0인 자연수 m"의 분포입니다.

변수 t와 변수 k는 함께, 자연수 m값이 존재할 수 있는 범위의 경곗값을 결정하게 될 것 같네요.


 - 편의: t값의 경우, 이미 위에서 [ t=0 ], [ t=2 ], [ t=k ] 와 같이 후보가 추려진 상황이므로, 편리합니다.

또한, t값에 관한 케이스분류는 '범위'가 아닌, 특정 값에 t가 대응되는 구조이기에,

각 범주마다 x=t와 y축을 고정시켜 둔 채로, k값만을 이동시키며 그래프 개형을 달리 하면 되니, 편리하며 명확합니다.

그리고 범주는 총 3개로 나뉘겠습니다.


 3. k 에 관하여

- 역할: 변수 k는, y=h(x) 그래프의 x절편 값에 해당합니다.

즉, 함수 그래프의 '모양'을 결정하는 역할이군요.


 - 관심: 지금 우리의 최대 관심사는, "h(m)<0인 자연수 m"의 분포입니다.

k의 값은, 함수 h(x) 함숫값의 부호가 바뀌는 점들 중 하나인, x절편에 해당합니다.

따라서 변수 k와 변수 t는, 자연수 m값이 존재할 수 있는 범위의 경곗값을 결정하게 될 것 같네요.


 - 편의: k값을 기준으로 범주를 설정한다고 해보면,

t값 후보군들에 포함되는 0과 2를 기준으로 하여 범주를 5개로 나누는 것보단,

t와 상대적인 위치를 고려하여, t와의 대소관계를 통해 범주를 3개로 나누는 것이 편리할 것입니다.

또한, 위처럼 t와의 대소관계를 통해 범주를 나누어야만, 각각의 범주가 그래프 개형과 명확하게 연결됩니다.

따라서 범주는 총 3개로 나뉘겠습니다.


4. g(-1)과 -7g(1)/2의 대소 관계

- 역할: ???


 - 관심: 이게 y=h(x) 그래프와 무슨 연관이 있죠?

아예 독립적이진 않겠지만, 현재 우리의 관심사와 직접적으로 뚜렷하게 연결되지는 않습니다.


 - 편의: 저걸로 범주를 나눈다면, 어떻게 써먹어야 할 지 모르겠어서, 불편하네요.

만약 나눈다면 범주는 총 2개로 나뉘겠습니다.


  ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 항목 4. <- 얘는 바로 컷 해야 합니다.


  그러면 이 생각들을 바탕으로, 변수 목록을 다시 보겠습니다.

  t와 k가 중요해 보이고, 써먹기 편한 쪽은 t가 되겠네요.

그럼 이대로 t를 최상위에, k를 그 다음에, 나머지는 최하위에 두고 범주화와 케이스 분류를 이어나가시면 되겠습니다.


  물론 반대로 하셔도 크게 상관 없다는 것을, 지난 칼럼에서 보여드린 바 있죠.

반대로 판단했을 때도 아~~~무 문제 없거든요, 판단 결과 자체는 전혀 문제 없습니다.

각자 본인이 생각한, 판단의 [근거]만 있으면 돼요. '무작위 판단'만 아니면 됩니다.

우리 나름대로 판단의 [근거]가 한두 개만 있으면, 확신을 가지고 이후 풀이과정을 이어나갈 수 있습니다.



  이번 칼럼에서는 판단의 [근거]에 대한 내용을 다루어 보았는데요,

이러한 [근거] 찾기의 목적이 무엇인지를 다시 명확히 강조하며 마무리하겠습니다.

'중요도 매기기'는 범주화를 위한 수단일 뿐, '범주화의 행위와 목적'의 실현이 가장 중요했던 것과 마찬가지로,

'[근거] 찾기' 또한 우리들의 확신을 위한 수단일 뿐, 스스로 확신을 가지는 것이 가장 중요합니다.


  "아 나 확신좀 가져야겠다"라고 생각하자마자 바로 100% 확신이 생기는 건 아니기 때문에,

그래서 우리가 나름의 [근거]를 찾는 것이지, [근거] 자체는 최선의 지름길을 보장해주지 않는다는 걸 명심합시다.


  [근거]는 어디까지나, 약간의 확신을 가질 수 있을 정도만 찾고, 이후 풀이를 빠르게 밀어나가는 게 중요합니다.

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