[칼럼] '케이스 분류 공포증' 뚜까패기 2 (feat. 26수능 수학 21번)

  안녕하세요. 케이스 분류를 이 세상에서 제~일 싫어하는 슬기조아입니다. \(^0^)/ -- ☆

지난 칼럼에서는, 변수가 두 개 이상일 때의 케이스 분류법 중 하나를, 실전상황처럼 적용해보는 과정을 다루었는데요.

 --- 지난 칼럼 ---

[칼럼] '케이스 분류 공포증' 뚜까패기 (feat. 26수능 수학 21번) (링크: https://orbi.kr/00075686330 )

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이 때 변수 간의 중요도를 바탕으로 그들 간의 위상, 층위를 부여하는 과정만큼은, 불가피하게도 매우 주관적일 수밖에 없었습니다.

  그러므로 이번 칼럼에서는, "중요도를 매길 때 '정답'은 없다!"라는 말씀을 드리겠습니다.

변수가 두 개 이상일 때는 케이스를 어떻게 분류해야 하는지, 어느 변수를 우선으로 두어야 하는지 등등

교과내용이나 평가원 페이지에 명시된 내용은 없으니까요.

애초에 케이스 분류 과정에서 여러 변수들이 함께 관여할 때, 반드시 '범주화'를 해야만 풀리는 것도 아닙니다.

이건 단지 제가 피지컬을 커버하기 위해 쓰는 방법 중 하나이고, 공식같은 게 있는 것도 아니라서, 옳고 그름도 거의 없습니다.

  이번 칼럼에서는 그러면 지난번과 동일한 분류 방법을 활용하되, 다른 변수를 최상위에 두고 풀어보도록 하겠습니다.

그리고 이를 통해, 최상위에 어떤 변수가 올라오는지는 생각보다 그리 중요하지 않을 수도 있다는 것을 말씀드리겠습니다.

중요한 것은, '변수 간의 위계를 부여함으로써 수많은 케이스들을 단순화한다'는 목적 자체에 있으니까요.

변수끼리 위계를 설정할 때, 그렇게 오래 고민하실 필요는 없다는 것이 이번 칼럼의 핵심 내용이 되겠습니다.

  그럼 먼저, 261121 문항의 (가), (나) 조건해석은 지난번 풀이와 다를 게 없으므로, 그 이후부터 풀이를 이어가봅시다.

  자 그러면 여기서부터 시작해 보겠습니다.

간략히 말씀드리자면, 기울기를 결정하는 미지수 l은 항상 양수이므로, 함수 h(x)의 그래프에 드라마틱한 변화를 주지는 못합니다.

그러므로 미지수 l은 케이스 분류의 기준이 되기 어렵습니다.

  이 상황에서 주목하셔야 할 미지수는 바로 t와 k, 두 미지수가 되겠습니다.

위의 두 미지수는 본질적으로 상수이지만, 케이스를 생성하는 요인이라는 의미로 이하 '변수'라고 칭하도록 하겠습니다.

  변수 t는 함수 h(x) 그래프의 구간을 나누어 자르는 역할을 하는 변수이며,

변수 k는 함수 h(x) 그래프의 x절편 값에 해당하는 변수입니다.

  지난 칼럼에서 제가 보여드린 현장 풀이의 경우, t를 k보다 상위에 두고 케이스 분류를 실시했는데요,

이번 칼럼에서 보여드릴 풀이는 그 반대의 경우입니다. 즉, k를 t보다 상위에 두고 케이스 분류를 실시해 보겠습니다.

- 분류 과정(1)

  k값에 대하여, 케이스를 3개로 분할합니다.

저는 [ k값이 t보다 작을 때, 같을 때, 클 때 ] 와 같이, 총 세 가지로 분류하였습니다.

  그런데 k값을 기준으로 케이스를 분류할 때, 범위를 어떻게 설정해야 할 지 직관적으로 떠오르지 않을 수도 있습니다.

 이럴 때는, 두 가지를 반영하여 범위를 설정하시면 되겠습니다.

바로 해당 변수의 역할과, 현재 우리가 가져야 할 최대의 관심사, 두 가지를 반영하시면 적절하게 나누실 수 있습니다.

  역할: k값은, 함수 h(x)의 그래프 x절편 값에 해당하며, 이는 그래프의 개형, 즉 모양에 관여합니다.

따라서 h(x) 그래프 개형이 제일 크게 달라지는 k값 경계를 기준으로 삼으시면 되겠습니다.

  관심: 지금 우리의 목표는, "h(m)<0 인 자연수 m값이 2개만 존재"하도록 하는 것이므로,

h(x)의 함숫값보다는, 그 부호에만 우선적으로 관심을 두면 되겠습니다.

h(x)의 부호가 바뀌는 지점은, x절편에 해당하는 k, 혹은 구간이 달라지는 t가 되겠습니다.

  관심 대상을 반영하여,

  x=t 를 기준으로 하여, t 보다 작은 범위에 x절편이 위치할지, 혹은 t보다 크거나 같은 범위에 x절편이 위치할지를 기준으로 케이스를 나누시면 되겠습니다.

  k의 역할을 반영하여, 위에서 분할한 케이스 중 후자에 해당하는 케이스를 둘로 쪼개야 합니다.

k=t일 때와, k>t일 때는 그래프 개형이 엄연히 다르기 때문입니다.

  그러면 k값을 기준으로 하여, 총 세 가지 케이스로 분류가 끝났습니다.

이제 t값을 기준으로 하위 분류를 시작해 봅시다.

 - 분류 과정(2)

  조건 (가)를 해석한 결과로, t=0 또는 t=2 또는 t=k 이어야 함을 알 수 있었습니다.

따라서 t값을 기준으로 분류할 때는 이를 그대로 가져다 쓰면 됩니다.

하지만 t=k 케이스의 경우에는 이미 상위 분류 과정(1)에서 이미 범주화가 끝났으므로,

여기서는 따로 다룰 필요가 없는 케이스입니다.

  따라서, 해당 분류 과정(2)에서는 [ t=0 또는 t=2 ] 으로, 두 가지 케이스만 설정하시면 되겠습니다.

 - 분류 과정(3)

  조건 (나)의 원소나열법 제시로 인해, m값 두 개가 g(-1)과 -7g(1)/2에 각각 어떻게 대응될지,

대소관계를 기준으로 케이스를 한 번 더 나누어야 합니다.

  이것으로 케이스 분류의 틀은 모두 잡았으니, 첫 번째 분류부터 시작해봅시다.

k값의 범위에 따른 y=h(x) 그래프 개형을 그려야겠죠?

  위의 두 번째 경우인 [ k=t ] 케이스는 벌써 탈락이라는 게 보이실 겁니다.

h(x)<0이 성립하는 x값이 단 하나도 없으니까요.

그러면 나머지 두 경우에 대해서, 자연수 m이 존재할 수 있는 범위를 수직선 위에 나타내봅시다.

  일단 [ k=t ] 케이스를 제외하고, 양쪽 케이스 모두 겉보기에 아직 별다른 문제는 없다고 보이네요.

이제 하위 분류 과정(2)에 따라, [ t=0 ], [ t=2 ] 두 케이스로 세분해봅시다.

먼저, [ t=0 ] 케이스부터 보여드리겠습니다.

  [ t=0 ]일 때는, 위와 같이 둘 중 한 쪽만 가능하겠군요.

그럼 이어서 [ t=2 ] 케이스도 보여드리겠습니다.

  [ t=2 ]일 때도 마찬가지로 둘 중 한 쪽만 가능하군요.

이로써 상위 분류 범주에서 [ k<t ], [ k=t ] 범주들은 모두 최종적으로 탈락입니다.

[ k>t ]임이 확정되는 순간이네요.

그러면 [ k>t ] 범주 내에서, [ t=0 ] 케이스와 [ t=2 ] 케이스 둘을 마저 조사해봅시다.

  먼저, [ t=0 ] 케이스부터 조사해 보면, k값 범위를 적용했을 때 g(1)이 양수로 확정됩니다.

조건 (나)와 모순이죠.

따라서 [ t=2 ]임을 확정할 수 있습니다.

  [ t=2 ]일 때는, g(1)과 f(1)의 부호가 반대가 되며,

k값 범위를 통해 g(-1), g(1)의 부호가 모두 조건 (나)와 모순이 없음을 알 수 있습니다.

  이제 남은 것은, 최하위 분류 과정(3)에서 작업해 둔 것과 같이,

g(-1)과 -7g(1)/2의 대소 관계로 케이스를 또 한 번 나누어야 합니다.

이때 위의 두 값은 원소나열법으로 제시되었으므로, 두 값은 같을 수 없습니다.

  파생되는 케이스가 두 가지밖에 없으므로, 이대로 케이스 나누어서 귀류법을 쓰셔도 무방합니다만,

우리는 앞서 k값 범위를 통해 g(-1), g(1)의 부호를 확정했습니다.

k값 범위를 약간 더 디테일하게 활용해볼까요?

  k값 범위를 통해, 집합의 두 원소 각각의 범위를 양수 l에 대해 나타낼 수 있습니다.

(21/2)=10.5 이므로, 12보다 작네요. l의 부호는 양수이므로, 둘 간의 대소관계를 이대로 확정할 수 있습니다.

  m값들의 집합 {2, 3}의 원소들을, 위와 같이 크기 순으로 대응시키면 되겠군요.

이로써 케이스 확정입니다.

비례식을 세워 k값을 먼저 구한 뒤, 한쪽 식에 대입하여 l값을 확정하면 답을 구할 수 있네요!

  제 이전 칼럼에서의 풀이와 비교해 보았을 때,

케이스의 가짓수와 그 분포, 각 케이스별 계산량 분포 등에서 크게 차이를 보이지 않는다는 것을 알 수 있습니다.

최상위 변수를 무엇으로 정하냐에 따른 유불리는 거의 없었던 것으로 확인됩니다.

오히려 구조도를 그려보았을 때, 그 둘이 매우 유사하다는 것을 느꼈습니다.

이에 대해 더 자세한 설명은, 기회가 된다면 다음 칼럼에서 다루어 보겠습니다.

  이번 칼럼에서 전달하고자 하는 핵심은 곧,

시험장에서 '케이스 범주화'를 위해 변수들 사이의 위계를 설정하실 때,

그리 길고 심각하게 고민하실 필요는 없다는 것입니다.

가장 중요한 것은, 수많은 케이스들을 범주화하여 단순화한다는 행위와 목적의 실현입니다.

  각자 본인이 세운 기준에 대한 확신을 가지고, 빠르게 쭉 밀고 나가서 완주하는 것이 가장 중요합니다.

적어도 시험장에서는 그러한 태도만이, 가장 빠르고 정확한 결과를 가져다 줄 겁니다.

  그럼에도 정 아닌 것 같다, 길을 잘못 든 것 같다 싶다면, 미련 없이 엎고, 기준을 재설정해서 풀어내면 되죠.

진짜 아닌 것 같을 때, 막혔을 때, 그 때 가서 고민하셔도 늦지 않습니다.

이미 기준을 세우고, 그에 맞춰 풀어나가는 도중에, 계속 '기준 설정'에 대한 의심으로 머릿속이 가득차 있으면 실수만 늘어납니다.

  기준 설정의 근거와, 이에 대한 확신은 모두 평소 연습량과 경험을 바탕으로 합니다.

저처럼 케이스 분류에 자신이 없는 수험생에 해당된다면,

N차풀이 과정에서 여러 기준으로 분류해보며, 각각의 유불리에 대한 데이터를 쌓는 것을 권장합니다.