짧칼럼) 귀납 수열에서의 수형도와 반복성

Question

'수형도를 그릴 때 반복성이 보인다면, 반복되는 순간부터는 초기의 가장 큰 범주의 뼈대만 그린다.' Feat. 기차놀이, 밀기.

241115입니다.

an은 자연수 수열이므로 a6, a7 모두 자연수입니다.

따라서 가능한 a6, a7의 조합은 (1,2), (2,1) 둘밖에 없는데 이때 저는 (2,1)의 순서쌍만을 그립니다.

왜냐고요?

a6=1 일 때 가능한 a5=2밖에 없습니다.

반대로 a6=2라면 a5=1 or 4입니다.

위 수열을 풀어보신 분이라면 당연히 아시겠으나 해당 수열은 1과2가 반복되는 구조입니다.

만일 여기서 a5=1이라면, 다시금 a3=1 or 4라는 규칙이 생깁니다.

결국 이 말

a5=4를 골라서 a3을 갈 때와

a5=1을 고르고, a3=4를 골라서 이루 a1을 갈때의 경우의 수가 '완벽히' 같음을 의미합니다.

이와 같은 것이 (a6, a7)=(2,1)일 때 반복된다면 결국 해당 수열에서 a1이 가능한 값들은 a3, a5, a7의 값들입니다. 또한 이를 위해서는 더 이상 수형도를 그릴 때 1과 2가 반복되게끔 그려주면 안 되는 거죠.

근데 처음에 제가 말씀드리길 반복되는 순간부터는 큰 뼈대를 본다+큰 뼈대로써 (2,1)만 본다 했습니다.

그 이유는 수열의 반복과 관려되어 있는데, 1이 아닌 자연수 k에 대해 ak=1 이면 a(k-1)=a(k+1)=2 이지만, ak=2이면 a(k-1)=1 or 4입니다.

중요한 건 a6=1이면 선택의 여지 없이 a5=2라는 건데, 이는 a6 a7의 조합이 (2, 1)인 것의 진행을 파악한 상황에서 그것보다 한 칸 더 낮은 범주의 (a5, a6)=(2, 1)을 보는 것과 다를 바 없습니다.

해당 수열은 반복성을 띠기에 이러한 진행은 결국 (a6, a7)=(2,1)

에 구조적으로 포함된 상황이며, 결국 '한 칸 밀린 상태에서의 진행'과 구조적 동치이기 때문에

결국 a1이라는 녀석은 주기를 띠지 않게끔 수열을 진행했을 때 a2와 a4, a6가 가능했던 수들도 가능해지게 됩니다.

핵심 파악

1. 주기를 띠는 반복성 체크

2. 이후 큰 뼈대 수열을 잡음

3. a2~a7까지의 가능한 수와 a1 자체가 가능했던 수들이 모두 a1이 될 수 있음.

저는 그래서 이러한 구조에서 개인적인 용어이긴 합니다만, a2~a7을 a1의 자취라 부르며 동시에 해당 구조를 띠는 수열을 풀 때 쓰는 이 방법을 기차 놀이 혹은 밀기라고 부릅니다.

위와 같은 방법은 평가원에서 상당히 많이 보여줬으며 대표적으로 250922, 251122, 22예시15 등에서 사용할 때 수형도 부담이 화악! 줄어들 수 있습니다.

사설 같은 데에서(요즘은 지로함으로 메타가 바뀌어서 슬슬 보기 어렵겠지만...)도 상당히 많이 낸 주제기도 했구요.

위 그림은 얘가 뭔 개소리를 하나 싶어서 이해가 잘 안 되는 분들을 위해 참고용으로 넣었습니다.

사실 귀납 수열은 제가 가장 자신있어하고, 또 수능장에서 큰 어려움을 안 느끼는 유형+노가다량도 남들보다 훨씬 줄일 자신이 있는 파트였는데 약화돼서 갠적으로는 슬프긴 합니다.

그래도 지로함이 수학적 사고에는 좀 더? 가치가 있다고 보긴 해요.

다들 공부 파이팅하시고, 같이 끝까지 잘 이겨내봅시다 :)

+) 위의 241115를 a6+a7=3이 아니라 a7=1 or a6= 1 등으로 바꿔서 풀어보세요. 얻어갈 게 분명 있습니다.

inception · Accepted Answer

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김0한 · Answer

걍 저 좆같은 점화식 좀 그만 나와라 제발

qbodpbo · Answer

어림도 없지 점화식에 n에대한 식 넣기

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