수학 문풀할 때 꽤 도움이 될 법한 디테일 캐치 방법

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이전에 올린 칼럼들은 시험지 전략, 문풀할 때 가져야 하는 습관들이었죠.

제게 필기가 가능한 패드가 있었다면 좋겠지만... 아쉽게도 없는 관계로 그냥 오르비 글로만 한 번 적어보겠습니다.

내용 자체는 충분히 도움이 된다고 생각해요.(물론 그림 같은 게 없으니까 솔직히 가독성은 떨어지겠지만...)

그럼 본격적으로 수학에서 '디테일'이란 게 뭔지 함 봐보죠.

1. 멍청해 보이는 조건들

예를 들어서, 정수 조건이나 최대최소 문제가 아니라 답이 딱 한 개로 정해지는 상황의 문제가 있다고 쳐보죠.

상황울 간단하게 하기 위해 최고차 계수가 양수인 삼차함수 f(x)가 있다 해봅시다.

이런 세팅에서 여러분에게 'f(2)>0' 이라는 정보가 주어졌습니다. 이를 우리는 어떤 식으로 받아들여야 할까요?

먼저 이걸 보고 대다수의 학생들은 들 수 있는 생각은

1. f(2)는 0보다 크구나.(그게 f(2)>0이니까...)

2. f(2)는 양수구나.(조금 더 우리말로 구체화한 정보)

여기까진 일반적이죠. 여기서 더 나아가는 건 정확히 무엇을 묻는지에 따라 달라지긴 하는데, 느낌만 보시라고 대충 자주 볼 법한 녀석으로 보여드리겠습니다.

3. 아, 방정식 f(x)=0의 실근이 적어도 2는 아니구나!

조금 더 나아가면

4. x가 2보다 작은 곳에서 무조건 실근이 하나는 보장되겠구나!

원래 문제를 보여주면서 설명하는 게 베스튼데 그러기가 어려운 게 참 아쉽습니다(ㅠㅠ)

아무튼, 위의 느낌은 이해되시나요?

생각보다 별 거 아닐 수 있는데, 4번까지 시켰을 때 그냥 자연스러운 사람들(보통 고정 1등급 이상)은 상관없지만 1컷 이하인 학생들은 이런 디테일을 잘 못 잡습니다.

저거 못 잡을 때의 불이익이 있냐 물으신다면, 예. 존재합니다.

바로 시간소모라는 아주 큰 불이익이 있습니다. 디테일을 잡는 가장 큰 이유 중 하나는 특히 함수 개형 추론에 있어서 시간 소모를 과하지 않게끔 하는 것입니다.

여기서 간단한 예시를 또 하나 들어보죠.

위의 문제 세팅은 그대로 가져갈 겁니다. 이때 f'(3)<0이라는 정보가 주어졌습니다.

그렇다면 여러분이 저걸 보고 가져가야 할 제일 첫 번째 생각은

1. x=3 부근에서 f(x)는 감소하는구나.

여기까지가 일반적인 생각이고,

2. f(x)가 극대 극소를 가지는구나!

얘가 가장 핵심입니다. 최고차 계수 양수인 삼차함수에게 도함수가 음수가 되는 지점이 있다는 것은 무조건 극대 극소를 가지는 구조일 수 밖에 없죠.

단순한 생각이라고 느껴지신다면, 아래의 예시까지 한 번 봐보시죠.

f(2)-f(0)=-2일 때, f'(x)는 두 개의 실근을 가진다 (O, X)

정답은?

당연히 O죠.

왤까요? f(2)-f(0)/2 = -1이고 이때 (0,2)에서 평균값 정리에 의해 f'(c)=-1 이를 만족하는 c가 존재하기 때문이죠.

이것이 큰 힘을 발휘하는 건 위 상황에서 f(x)를 묻는 게 아니라 f'(x)와 관련해 추론을 요구할 때입니다. 왜냐면 이차함수에서 가장 중요한 함판축 중 우리는 판을 알게 되었고 함숫값에 대한 나름의 정보도 얻었으니까요(0과 2사이에 도함수값이 -1이 되는 지점이 있다는)

만일 두 실근의 존재 여부를 판단하지 못하고 도함수에 접근하려면 우린 상당히 난해함을 겪을 수도 있습니다.

쓸데없이 x축과 접하는 상환, 허근인 상황 등 다양한 함수를 그리면서 뻘짓하는 거죠.

그러나 위에서 디테일을 잡아냈다면 그냥 근 두 개 가지는 상태에서 바로 출발하면 됩니다.

경우의 수가 애초에 1개라는 거죠. 이런 데에서 우리는 분명 케이스 추론을 줄임으로써 명백한 시간적 이득을 얻을 수 있습니다.

시간이 늦어져서... 쓰고싶은 것도, 할 말도 여전히 있는데 이번 칼럼은 적당히 여기까지만 쓰겠습니다... 반응이 괜찮다면 다음글도 한 번 써보겠습니다.

도움이 되셨으면 좋겠습니다!