수학 소소한 Tip(인수정리의 확장)
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일반적으로 다항함수는 자신이 가질 수 있는 근(실근 아님 허 근까지 포함)의 개수만큼 함숫값이 존재한다면 인수정리(?) 꼴로 표현할 수 있다.
다음은 그 예시입니다.(최고차는 1로 고정해서 보도록 하자.)
[특수] 1. f는 이차, f(0)=2, f(2)=2
-> 곧, f(x) = x(x-2)+2
[일반] 2. f는 이차, f(0)=4, f(2)=-2
-> 곧, f(x) = x(x-2)-3x+4
[특수] 3. f는 삼차, f(0)=0, f(2)=2, f(6)=6
-> 곧, f(x) = x(x-2)(x-6)+x
[일반] 4. f는 삼차, f(0)=12, f(3)=3, f(5)=7
-> 곧, f(x) = x(x-3)(x-5)+{x(x-6)+12}
(만일 이 구조로부터 0~3까지의 정적분값을 구한다면 앞의 삼차식은 대칭적분으로, 뒤의 이차식은 넓이공식으로 처리할 수 있어요!)
어이쿠 실수로 지워버려서 다시 올림... 무튼 덕코 2배로 버니깐 개이득(?)인 것이에요.(최고차 바뀌면 앞의 식에만 적용됩니다. 또한 마지막 케이스같은 처리법은 적분계산에서 편리해지는 경우도 있어서 쓸만해여)
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개신기하네
이거의 일반형이 n차 + n-1차 구조라고 보면 되여. 저 구조 자체가 최고차 계수와 무관하게 항등식 구조임.
약간 부연설명을 하자면, 저렇게 변형하는 구조 자체는
원래 정해진 함수 f가 너무 거지같으니, f를 적당히 인수단위로 쪼개어 작성하고, 나머지 자투리를 뒤에 쓰는 느낌..?
직선 차함수
고1 내신때 유용함
이거 ㄹㅇ 좋음
특히 적분 계산 개가튼거 이거랑 대칭적분으로 털어내면 진짜 속이 뻥 뚫림여
최고차항이 바뀌면 앞에 식에만 적용된다는게 최고차항이 4면 특수 4번 같은 경우에 4x(x-3)(x-5)+{x(x-6)+12} 인가요?
넹, 이해할 때에는 최고차항이 n차일 때, 저렇게 쪼개어 정리한 식은 (n차) + (n-1차)의 구조니까 앞쪽만 바뀐다!고 생각하시면 되여지금 저 위에 쓰인 논리 자체가
주어진 값조건들로 n차식은 정리할 수 없지만(미지수가 1개 남아서) n-1차식은 정리할 수 있다.를 이용한거라, 최고차 계수가 바뀌더라도 뒤의 식은 이미 함숫값들에 의해 '고정'되었다 생각하셔도 되고용
알려주셔서 감사합니당
어떤 원리로 식을 세우는건지 혹시 자세한 설명 가능할까요,,?!
일종의 인수개수 논리라고 보시면 되여. 삼차함수로 예를 들면, 3차함수는 실근이든 허근이근 최대 3개의 근을 가지져?(최고차항의 계수는 변하기 때문에 함수를 특정할 순 없지만)
그렇기 때문에 3차함수는 세 점의 좌표만 안다면,
주어진 세 x좌표들에서 근을 갖는 삼차함수와
주어진 세 x좌표에서 해당 함숫값을 가지는 이차(특수한 경우가 1차나 상수)함수와의
'차의 함수 또는 합의 함수'로 볼 수 있는거에용
아..! 이제 봤네요 설명 감사합니다ㅎㅎㅎ
혹시 뒤에있는 n-1차의 보정식은 그냥 ax^2+bx+c 와 같이 미지수로 잡고 세울 수밖에 없는 거죠..?? 1번이나 3번 등의 특수케이스나, n차함수가 2차함수여서 보정식이 1차일때는 쉬운데, n이 3만 돼도 뒤에있는 보정식이 2차여서 약간 번거로워지네요,, 원래 그런 거겠죠?
그렇져 원래 함수의 차수보다 하나 낮춰서 식을 작성해주는 번거로움이 있긴 해여.. 그래서 3차 이상은 그리 자주 쓰이지는 않는데, 위의 예시와 같은 상황처럼 계산하기 편리한 구조가 나오기도 하니까 알아두면 나름대로 사용할 수 있지 않을까 싶네요
다만 최고차까지 주어지지 않은 미지수 4개의 식인 경우, 저 구조로 작성한다면 최고차항의 미지수를 털어내고 명확한 이차식을 얻어낼 수 있는 장점도 있으니, 문제의 상황이나 식의 구조에 따라 자유롭게 쓰시면 되여
아아 그렇군요!! 덕분에 좋은 지식 얻어갑니다☺️
설명해주셔서 감사해요!! 편안한 밤 되세용