우일신 30번을 베르누이 미분방정식으로 풀어보자
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n*10분 박고도 못 풀었다는 후기가 많았던 우일신 모고 30번.
대체 얼마나 어렵길래? 하는 생각으로 문제를 보았다.
시발.
지금껏 푼 실모가 몇백개지만 저따구로 생긴 항등식은 처음 보았다.
고민에 고민을 거듭하다가..
문득 한 생각이 스쳐 지나갔다.
"이거 베르누이 미분방정식이랑 형태가 비슷한데..??"
그렇다. 공학수학 1 예습을 위해 무지성 예제 뺑뺑이를 돌리던 필자의 눈에는 저 항등식이 미분방정식으로 보여버렸던 것이다.
그러면 대체 베르누이 미분방정식이 뭐냐?는 질문에 답하기 위해서는 우선 미분방정식이 무엇인지부터 짚고 넘어가야 한다.
매우 간략히 설명하자면 미분방정식은 
와 같이 미지의 함수와 그 함수의 도함수들로 이루어져 있는 방정식이다. 그리고 우리의 목적은 
의 함수식을 찾는 것이다.
예를 들어, 
라는 미분방정식을 생각해 보자. 이때 이 방정식의 일반해는 
가 되며, 이때 추가적인 조건 ( 
과 같은) 이 주어지면 상수를 특정할 수 있는데, 이때의 해를 특수해라고 한다.
미분방정식에는 여러 형태가 있는데, 각 형태마다 이미 최적화된 풀이법이 존재한다.
오늘 우리가 잠깐 응용할 '베르누이 미분방정식'은 비선형 1계 ODE에 해당되며, 이는 선형 1계 ODE로 고쳐서 쉽게 해결할 수 있다.
선형 1계 ODE는 
꼴의 미분방정식이라고 생각하면 된다.
그렇다면 이제 문제의 항등식을 보자. 
라고 두면,
인 미분방정식으로 볼 수 있다.
이때 양변을 로 나누어 
로 만들면 이게 바로 베르누이 미분방정식의 형태이다.
우선 해당 방정식을 선형 미분방정식으로 만들어주기 위해 
으로 치환하자. 두 변수 모두 
에 종속되어 있으므로 양변을 에 대해 미분해주면 
이 된다.
에서 양변에 
를 곱해주면
가 되어 
에 대한 선형 미분방정식이 된 걸 볼 수 있다.
한편, 꼴의 미분방정식의 해는 조금 복잡하지만
로 나타나는데, 이는 우리 미적이들 수준에서는 충분히 계산 가능한 형태이므로 계속 진행해보겠다.
우리가 얻은 에 대한 선형 미분방정식을 보기 좋게 정리해주면
가 되고, 이때 
이다.
공식에 그대로 대입해주면!!
가 되며, 이를 계산하면
이다.
처음에 으로 치환했으므로 
으로 다시 적을 수 있고,
문제에서 주어진 
조건을 이용해 
로 특정 지을 수 있다.
최종적으로 구하는 적분값은
이므로, 아예 구해버린 함수식에다 각각 pi/2와 0을 대입하여 계산하면
으로 재미있고 신기하게 답을 구할 수 있다! ^0^
첫 줄글이라 가독성이 매우 떨어질 수 있으니 양해 부탁드립니다ㅠㅠ
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오
약대 1학년 1학기 때 저걸 배운다는 사실
??? : 왠지 양 변에 e^(-2x)를 곱하고 싶다.
에서 왠지에 해당하는 부분ㅋㅋㅋ