[칼럼] 해설지는 '설명'하라고 있는건데
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나형 19년 9월 30번
개인적으로 까다로운 문제라고 생각하는데
더 큰 문제는 해설지가
여기까진 잘 가다가
갑자기 자명타 한 마디를 내뱉으시고 계산 작업에 착수하시어서
몇 자 끄적여볼까 합니다
먼저 시작은 해설지처럼 치환을 하고 들어가는건데
f=x인 경우라면 조건을 만족하겠으나
안타깝게도 f는 삼차함수인지라 저런 경우는 많아봐야 실근이 3개밖에 안 나오므로
f!=x인 경우가 무조건 존재해야겠네요
그렇다면 어떠한 사고가 가능한가?
f!=x인 경우에 대하여 f(alpha)=beta, f(beta)=alpha가 성립한다면 조건식을 만족하니 이런 경우가 반드시 존재하는데
이런 alpha와 beta가 존재한다면 사잇값 정리에 의해서 f-x=0인 경우가 무조건 세가지 이상 존재하게 되고
f-x 역시 삼차함수이므로 f-x=0인 경우가 딱 세가지 존재하여
이 세 실근과 alpha, beta가 조건을 만족하는 0, 1, a, 2, b가 됨을 알 수 있습니다
그리고 이 실근의 대소관계는 주어져 있으니 alpha와 beta의 대소관계를 설정해주면
자연히 f(0)=0, f(a)=a, f(b)=b이고, f(1)=2, f(2)=1임을 알 수 있습니다
남은 건 계산 뿐인데
계산 역시 f(0)=0을 중심으로 하면, f(1)과 f(2)를 지나는 직선은 유일하게 존재하니까 인수 x를 설정하고 남은 식을 다음과 같이 조작하면 계산량을 줄일 수 있습니다
사실 결론적으로는
삼차함수의 대칭 관계를 통해 a=3/2이고 해당 점이 변곡점이라는 것을 캐치하고
f-x=kx(x-3/2)(x-3)으로 정리해버리는 것이 제일 깔끔하긴하지만
f(0)=0, f(1)=2, f(2)=1을 지나는 삼차함수가 무수히 많이 존재하는지라...
아무튼 자명타가 왜 자명한지 따져보는 것은
본인의 수학 실력에 언제나 도움이 됩니다
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칼럼개추
캬..마지막계산 f(x)-(-x+3)=(x-1)(x-2)(px+q)로 두고 하는것도 좋다고생각
1. 인수 세 개로 표현하면 미분이 어려워지고
2 f(0)=0을 제대로 담아내려면 저렇게 표현하는 것이 좀 더 낫다고 여겼습니다
헉