[무료 배포] [칼럼_TA2026_15] Series. 월간지
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안녕하세요, 윤우성입니다. 예고 드린 대로, 오늘은 칼럼으로 찾아뵙게되었습니다.
우선, 아직 교재를 다운 받지 않은 분들은 교재부터 다운로드해주시길 바라겠습니다!
이번 시간에는 저의 관점으로 26학년도 6월 모의 15번 문항을 뜯어보며, 변형 문항의 설계 구조를 설명드리겠습니다.
본 칼럼은 이 변형 문항이 왜 이렇게 설계되었고, 해설하는 게 주목적입니다.
15번 분석이 필요 없는 분들은 밑으로 쭉 내려주세요!!
우선, 딱 보았을 때, 함수의 셋팅자체가 '단조롭다'라는 것입니다.
를 기준으로 함수가 정의되어있는 것에서 평가원이 힘을 많이 뺐다는 것을 느낄 수 있었습니다.
(가) 조건은
실수 전체의 집합에서 우미분계수가 항상 존재하고, 0 이하이다.
굉장히 특수하게 제시되었습니다.
연속함수인 것은 보장되지 않지만, 어쨋든 실수 전역에서 감소하는 형태를 띄어야겠네요.
그럼 우선, 특수한 정보를 얻어낼 수 있습니다.
경계점에서의 미분계수는 0이죠.
더하여 등호가
쪽에 달려있다는 것만 주의하여 조건을 더 해석해볼까요.
그냥 대략적으로 감소하는 개형을 생각해봅시다.
여기서 우미분계수가 존재하려면 뭐 어떻게 되야할까요?
분명히 이게 출제 의도일텐데 말이죠.
경계가 아닌 곳은 당연히 존재하니까 경계만 잘 확인해주면 됩니다.
첫번째 경계
에서는 Trivial 하게 독단적으로 우미분계수가 존재합니다. 뭐 건드릴 필요도 없어요.
두번째 경계
에서가 문제죠. 빵꾸가 나있잖아요. 얘를 해결해야합니다.
그러니까 여기서 연속이 되어야합니다.
아마도 이게 출제의도였겠습니다.
(나) 조건은 뭐 볼 필요도 없습니다.
그냥 함수 확정을 위한 조건이었습니다.
해설강의가 수없이 널려있으니 분석은 여기서 마치도록 하겠습니다.
그럼 이제 본격적으로 변형 문항에 대한 이야기를 해보겠습니다.
사차함수로 변경하였고, (나) 조건을 과감히 삭제하는 시도로, 최댓값을 구하는 문항으로 탈바꿈 하게 되었습니다.
변형문항인만큼 난이도를 올리거나 색다른 시도를 해봐야겠죠?
이번엔 난이도를 꽤 올려보았습니다.
기존의 단조로운 함수 셋팅에서, 경계를 조금 생각을 해봐야 하는 구조로.
좌미분계수가 0 이하가 아닌, f'(a) 이하로.
재밌어졌죠?
기존 문항에선 너무나도 쉽게
를 뽑아내었는데, 변형문항에서는 f'(a) 이하가 되도록 요구하고 있다는 것은
어떻게 받아들일 수 있을까요?
일단 자연스럽게 최고차항의 계수는 양수인 것은 누구나 확인할 수 있습니다.
인 구간에선 함수를 뒤집어야 하는데, 좌미분계수가 f'(a) 이하라는 것은
해당 구간에서의 f(x)의 미분계수가 음수가 되면 안된다는 것을 알아차려야합니다. 즉,
라는 것이죠. 이정도의 이해를 바탕으로
조건을 활용하여 답을 내도록 노력해야합니다.
k가 양수이고, 미분이 불가능한 점이 존재한다는 것을 고려하면 다음과 같은 상황이 될 수 밖에 없습니다. (자세한 해석을 원하시면, 교재 8페이지의 Commentary.를 확인해주세요.)
이제 식을 작성하기 위해 교점의 위치를 찾아보자면, 0이 아닌 첫번째 교점의 위치가
임을 알 수 있습니다. (이등변 삼각형 떠올려보세요.)
그럼 이제 식은
과 같이 작성할 수 있겠습니다.
조건을 통해 문제를 마무리하기 위해선 다음과 같이 조건을 뽑아내야만 했습니다.
임을 통하여
라는 조건을요. 계산하면
이 되는데, 좌변을 k에 대한 함수로만 인정할 수 있다면, 경계값이
라 제시된 것을 알 수 있습니다. 자연스레
인 것 또한 알 수 있고요.
마저 계산을 마무리하면
이고, 주어진 구간
에서의 최솟값은
임을 알 수 있습니다. (이 부분에서 교재에 오타가 있네요. f(2)=f(4)=5/4가 최솟값으로 써져있는데...크흠...)
어쨋든 마무리하면,
입니다.
글이 길었습니다.
나름 괜찮게 제작된 문항이라고 생각합니다.
난이도와 완성도, 변형도 측면을 다 고려해도 스스로에게 100점 만점에 95점 정도를 주고 싶을 정도로요. ㅋㅋㅋ
좋은 문항, 좋은 글이라고 생각되시면 좋아요 하나씩 부탁드리겠습니다. 더 열심히 할게요!
PS. 오르비 친구들은 어떤 칼럼을 좋아하는 지 파악하고 있는데, 아직 감이 잘 안오네요. ㅠㅜ
앞으로 어떤 식으로 칼럼이 작성되었으면 좋겠는지 많은분들께서 의견을 제시해주시면 좋겠습니다!
지금 보니, 교재랑 거의 다를 것이 없게 써져있는 것 같네요.....하하....
다음 칼럼에선 더욱 간결하게, 필요한 것들만 딱딱 손풀이, 손필기로 진행해볼까요?
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