개쩌는 미적분 30번 풀어보실분
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제가 본문제중에 최고의 문제인거같은데 혹시 풀어보실분 있으실까요?? (맞추시면 제뽀뽀를 드립니다)
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"미분가능하며 이계도함수를 갖는"
이건좀...
g(k)=g(k)-6
-6=0 ㄷㄷ
g(x)가 왜 연속이라고 생각하시나요
아 ㅈㅁ 정의된이었네 ㅈㅅㅈㅅ
미분가능하며 이계도함수를 갖는건 마치 족발과도 같군요
정답맞나요?
h 미분가능 조건에서 g가 x=/=k에서 미분가능하고, x=k에서의 우극한과 함숫값은 g(k)이며 좌극한이 g(k)-6이고, 점 (k, g(k))과 점 (x, g(x)) 사이의 평균변화율(x>k)의 극한과 점 (k, g(k)-6)과 점 (x, g(x)) 사이의 평균변화율(x-1/4를 얻음
f(g(x))f'(g(x))=x에 g(c)=1을 만족시키는 c가 존재한다고 가정하고 x=c를 대입하면 모순이 발생하므로 그러한 c는 존재하지 않음
(왠지 모르겠는데 내용이 잘리네요, 풀다가 메모 삼아 남겨둠)
h 미분가능 조건에서 g가 x=/=k에서 미분가능하고, x=k에서의 우극한과 함숫값은 g(k)이며 좌극한이 g(k)-6이고, 점 (k, g(k))과 점 (x, g(x)) 사이의 평균변화율(x>k)의 극한과 점 (k, g(k)-6)과 점 (x, g(x)) 사이의 평균변화율(x-1/4를 얻음
f(g(x))f'(g(x))=x에 g(c)=1을 만족시키는 c가 존재한다고 가정하고 x=c를 대입하면 모순이 발생하므로 그러한 c는 존재하지 않음
가볍게 건드릴 수 있을 것이 떠오르지 않아 (나) 조건을 보는데 어디서 나온 식인지 알 수 없어 고민하던 중... x=/=k일 때 (즉, g(x)의 불연속점을 고려하지 않고) 주어진 식 f(g(x))f'(g(x))=x의 양변을 미분하면 ([f'(g(x))]^2+f(g(x))f''(g(x)))g'(x)=1을 얻고, (나) 조건에 따라 2<=g(x)<=6을 만족시키는 x가 존재한다면 그러한 모든 x에 대해 g'(x)<=0. 즉, 그러한 구간에서 g(x)가 증가하지 않음. 반대로 g(x)<2이거나 g(x)>6인 구간에서는 g(x)가 감소하지 않음.
그런데 만약 g(a)=6이고 g(b)=2인 a, b (a6인데 g(x)가 감소하므로 모순
2) g'(a)=0이면 a-h0이면 g(a-h)<6인데 g(x)가 증가하므로 모순
따라서 g(a)=6이고 g(b)=2인 a, b (a<b)는 존재하지 않음. 이를 바탕으로 g(x)의 개형을 생각해보면 둘 중 하나임을 확인 가능
1) 최솟값이 6 이상이거나 y=p (p는 6 이상의 실수)을 점근선으로 하고 감소하지 않음
2) 최댓값이 2 이하거나 y=q (q는 2 이하의 실수)를 점근선으로 하고 감소하지 않음
이때 방정식 g(x)=1의 실근이 존재하지 않음을 앞서 확인했으므로 만약 2)라면 최솟값이 1 초과거나 y=r (r은 1 초과 2 이하의 실수)를 점근선으로 하고 감소하지 않아야 함
1) 최솟값이 6 이상이거나 y=p (p는 6 이상의 실수)을 점근선으로 하고 감소하지 않음
2) 최댓값이 2 이하거나 y=q (q는 2 이하의 실수)를 점근선으로 하고, 최솟값이 1 초과거나 y=r (r은 1 초과 2 미만의 실수)를 점근선으로 하며 감소하지 않음
아 처음에 g(c)=1을 만족시키는 c가 존재하지 않는 것이 아니라 c=4네요 현재까지 상황 아래 사진으로 공유합니다
f(g(x))f'(g(x))=x의 양변에 g'(x)를 곱해 적분해주면, [a, b]에서 g(x)를 적분한 것을 g(a), g(b), f(g(a)), f(g(b))를 이용해 구할 수 있음을 확인 가능
최종적으로 구해야 하는 값은 h(x)를 적분한 것이고, 이는 곧 g(x)를 적분한 것. g(x)의 식을 구하진 않더라도 g(0), g(k), g(2k), f(g(0)), f(g(k)), f(g(2k))의 값이 필요. 앞서 g(0)=0임을 확인했으니 g(k), g(2k), f(g(k)), f(g(2k))의 값을 구해야?
그러기 위해 f(x)에 초점을 두어 보면, 그래프가 점 (4, f(4)) 대칭이므로 f'(1)=1에서 f'(7)=1.
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여기까지가 제 논리고... 이후는 여자친구 도움 받아 다듬기만 해서 제가 풀었다 보기는 어려움
g(4)=1이고 10이다. 따라서 구간 (1, g(k)-6)에서 f(x)가 증가하고 f(1)=4이므로 구간 (1, g(k)-6)에서 f(x)>0임을 확인할 수 있다.
구간 (g(k)-6, 2)에 f(x)가 감소하는 구간이 존재하여 f(x)<0인 구간이 존재할 수도 있지 않냐는 질문에는 만약 그러하다면 f'(x)=0인 g(k)-60임을 확인할 수 있다.
같은 논리로 x=/=0일 때, 즉 g(x)=/=0일 때는 f'(g(x))의 부호가 변할 수 없으므로 x>0에서 f(x)가 증가함을 확인할 수 있다. 이후 f(x)의 그래프가 점 (4, f(4)) 대칭임을 이용하든 (나) 조건에 의해 f'(0)=/=0임을 이용하든 x<0에서도 f(x)가 증가하여 결국 f(x)도 실수 전체의 집합에서 f'(x)>0임을 확인
* 첫 번째 사진 마지막 문장에 g(x)>0가 아니라 g'(x)>0, 오타 있습니다!