사관 22번 개형 추론의 과정
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개형추론 문제에서 가져가도 좋을 한가지 태도는
"조건의 정보를 최대한 뽑아가며 케이스는 최소한으로 나눈다"
입니다.
(가)의 사차함수 극대 조건은 정말 강력한 조건입니다. 극대를 가지려면 도함수의 부호가 +에서 -로 변해야 하는데, 최고차항이 양수인 삼차함수에서 부호가 +에서 -로 바뀌기 위해서는 세 실근이 반드시 존재해야 합니다. (단순하게 개형만 생각해도 알아내실 수 있고, 사잇값 정리를 통해서도 보일 수 있습니다) 따라서 f(x)는 극소, 극대, 극소가 모두 존재하는 개형의 사차함수입니다.
(나)의 a,b 미분불가+양수 조건을 통해서는 사차함수가 두 양의 실근 a,b를 가져야 함을 알아낼 수 있습니다.
(다)의 h(t)>0 가 눈여겨볼 조건인데 여기서 이런 생각을 하시는 것을 제안드립니다. 모든 실수에서 성립한다면 t가 아무리 커지거나 작아져도 성립할 것입니다. 따라서 t가 양의 무한대와 음의 무한대로 갈 때도 h(t)가 0이 아니기 위해서 g(t)의 두 극한은 부호가 반대여야 합니다.
f(-2)=0 까지 고려하면, f(t)의 개형은 단 두 가지 경우만 남게 됩니다. g(t)가 어떻게 되는지도 바로바로 결정이 되니 조건만 똑바로 해석했다면 이 문제는 정말 빠르게 풀 수 있습니다.
개형 추론 문제에서 문제를 일관되게 못 풀고 케이스가 생각날 때만 풀 수 있는건 "특정 조건이 어떤 의미까지 가지는지 모르고" 케이스만 나눠봐서 그럴 가능성이 높다고 생각합니다.
올해 사관 22번이 엄청나게 어려웠던 문제는 아니지만, 이럴수록 기본기 연습하는데는 좋다고 생각합니다. 시험 때 못 푸셨거나 케이스를 지나치게 많이 나누신 것 같다면 한 번 제 사고과정도 참고해보셔도 좋을 것 같습니다.
+) 시험 때 풀이입니다. 4분 30초 정도 걸렸습니다.
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