O/X 퀴즈(10000덕)
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급수
이 수렴하면, 급수
도 수렴할까?
별로 어렵지 않습니다
첫 증명/반례를 써주시는 분께 5000덕을 드립니다
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a1....an이 c로 수렴하고, an의 규칙성이 발견되지 않았으므로,
-1< x < 1의 값을 가지는 sin함수를 계속 더하면, -1, -0.5, 0.. +0.7로 나올 수 있는데
수렴이라는 것은, 발산과 달리 특정 y값에 무한히 가까워져야 하므로, 상수의 합의 수렴과 sin함수의 관계성이 매치되지 않을 수 있어, 수렴하지 않을 수 있음.
무슨 말인지 잘 이해가 안되는데, 혹시 그 아이디어를 바탕으로 직접적인 반례를 만들어 주실 수 있나요?
a1 + ... + an이 있을 때, 결국 수렴만 하면 되기 때문에..극단적으로
100 + 0 + 0 + 1 + -25 + 0.... - 100을 해도 수렴합니다. (규칙성이 있다는 전제를 포함하지 않았기 때문에)
따라서, 비율적인 관계가 성립되면, sin함수도 수렴할 수 있겠지만, a1...an들의 값이 규칙성없는 랜덤한 자연수들의 집합이면, sin값에 무작위로 -1 < ? < 1 사이에 꽃히기 때문에, 수렴하지 않을 수도 있습니다.
a_n이 정수로 이루어진 수열이고, 수열 s_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n이 수렴한다면(즉 급수 a_1+a_2+...+a_n+...이 수렴한다면), 충분히 큰 i에 대해 a_i = 0이고, 따라서 sin(a1)+sin(a2)+sin(a3)+...도 수렴해요.
위의 사실이 직관적이지 않을 수 있지만, 극한의 정의에 따라 s_n이 극한 L로 수렴한다면 모든 자연수 i에 대해 i>=N이면 |s_i-L|<1/2이게 하는 자연수 N이 존재하고, 이때 |a_(i+1)| < |s_(i+1)-s_i|(s_i의 정의) < |s_i-L|+|s_(i+1)-L|(삼각부등식) < 1/2+1/2=1에서 |a_(i+1)|<1이고, a_(i+1)이 정수이므로 a_(i+1)=0이 되요.
따라서 i>=N이면 a_(i+1)=0에서 sin(a_(i+1))=0이고, 급수 sin(a1)+sin(a2)+...는 극한 L=sin(a1)+sin(a2)+...+sin(a_N)으로 수렴해요.
물론, a_n이 정수만으로 이루어지지 않은 수열인 경우에 대해서는, 글의 내용에 대한 반례가 있을 수는 있겠죠?
교대급수 판정법 알아야하지않나
애초에 고등학교 내용으로 풀기 쉬운 문제는 아니지만, 교대급수 판정법과 직접적인 연관이 있지는 않아요
n이 충분히 커지면 근사가 가능하다보니 넌무 어렵네요
O 로 찍엇다
O, 위에 급수가 c로 수렴한다고 하자.
1. -pi/2 < a < pi/2인 상황만 봐도 충분하다
Pf.) 위에 급수가 수렴하려면 a_n이 0으러 가야하니까
2. 0<=a<pi/2인 상황만 봐도 충분하다.
Pf) 1의 상황에서 이런 a들만 따로 모은다.(?)
3. 젠센 부등식에 의해
아래 부분합 <= n*sin(c/n) 이고,
Lim (0으로 갈 때) sin(cx)/x = c.이므로 수렴
미적분을 잘 몰라서 ㅋㅋ 넘 비약이려나요
a_n이 절대수렴한다는 보장이 없기 때문에, 양수인 항과 음수인 항을 마음대로 따로 모을 수가 없어요
음수인 항들은 양수인 항들과 같은 논리로
c<아래 급수<=0
해가지고 수렴하니까
수렴+수렴 (음수항 + 양수항) 해서 대충 수렴하겟다 햇는데
이게 안 되는건가요, 어렵 ..
예를 들어, a_1=1, a_2=-1/2, a_3=1/3, a_4=-1/4…면 a_n의 합은 수렴하지만(실제로는 ln(2)로 수렴해요), 양수 항을 묶은 1+1/3+1/5+…는 수렴하지 않아요
아 맞네요, 이런
깔끔하게 이해시켜주셔서 감사합니다
적당히 큰 n에 대해서 |an|<1이니까 |sin(an)|<|an|<1이고 비교판정법에 의해 수렴
|a_n|이 수렴한다는 보장이 있나요?
sum(an)이 수렴하니까 lim(an)=0이라서?
아 급수 |a_n| 말한 거에요
|a_1|+|a_2|+|a_3|+...+|a_n|+...
an->0이니까 sin(an))/an->1 as n->inf로 하는게 좀더나을려나
an이 0으로 수렴하는데
sinx가x보다 절댓값 작으니까
더 작아서 됨
꼭 그렇지는 않아요급수 1-1/2+1/3-1/4+...는 수렴하고, 급수 1/2*1+1/2*1/2+1/2*1/3+1/2*1/4+...는 각 항의 절댓값이 앞 급수보다 작지만 발산하죠
이게틀리네;;의대생이신걸로 아는데 혹시 이런건 어케 아시나요? 따로 공부하시는건가요
예전에 수학 독학으로 공부한 게 좀 있어서
그거 바탕으로 이런 글 쓰는 거에요
그냥 테일러전개 쓰면 자명한거 아니에요?
sinx가 대충 x-x^3/6 정도 스케일이니까 x랑 비슷한 범위로 부등식 잡아주면 수렴 무조건할거 같은데
테일러 전개랑 관련있는 건 맞아요
하지만, 생각보다 그렇게 쉽지는 않을지도...
이거 잘보면 a_n>0 조건 없어요
an \to 0
sin an / an \to 1
therefore \sum sin an 도 수렴함
bn / an 의 극한이 양수면 수렴성 동일
"a1+a2+a3+...이 수렴하고 lim n->inf b_n/a_n = 1이면 b1+b2+...도 수렴한다”는, a_n의 각 항이 양수인 경우에만 일반적으로 성립해요
이 문제처럼 음수인 항이 있을 수도 있고, 절대수렴이 보장되지 않는 경우에는 쓸 수 없어요
헐 그렇네요 감사합니다
아 댓글 보고 그 질문자님이 문제를 절댓값이 붙였는데 잘못해서 안 붙인 줄 알았습니다.
절댓값 안 붙으면 당연히 limit comparison test 할 수 없고... 음.... 잠시만요
이런어려운건안배우는데
수렴합니다.
a_n -> 0이므로 lim sin a_n / a_n = 1입니다.
그럼 Σ a_n 이 수렴하면 Σ sin a_n도 수렴합니다.
아 절댓값 까먹었다 붙인 거로 치죠
ratio test에서 비가 1이면 inconclusive입니다.
그건 an+1 이랑 an 일때고 이건 다른 두 수열 비교하는거라 다른거 아닌가요?
어우그렇네 제가 졸려서 헛소리를했습니다Ratio test 아닙니다.
Limit comparison test입니당
네네 그게 맞죠
오랜만이네요
그럼에도 불구하고 절대수렴이 아니고 부호가 달라서 쓰기 곤란합니다 제 기억이 맞다면..?
"a1+a2+a3+...이 수렴하고 lim n->inf b_n/a_n = 1이면 b1+b2+...도 수렴한다”는, a_n의 각 항이 양수인 경우에만 일반적으로 성립해요
이 문제처럼 음수인 항이 있을 수도 있고, 절대수렴이 보장되지 않는 경우에는 쓸 수 없어요
오
이야 외계어 파티네 파티
느낌상 직선 두개로 부등식 잡은다음에 엡델 하면 될 것 같은데
졸려요
힌트를 드리자면, 일단 직선 2개로는 불가능해요
흔히 하던 짓대로
2/pi x랑 x로 bound 잡아서 이리저리 돌리면 안되려나요
졸리지만않았어도당장풀어보는건데넘피곤해요크아아ㄱ
1/(n^1.01)
급수 sin(1/1)+sin(1/2^1.01)+...는 수렴해요혹시 태일러 전개에 an 박고 이중시그마 뒤집는 건가
사망!
root test 랑 샌드위치도 판정불가 경우있네 항복
an-2 = n^(-1/3)
an-1 = an = -(1/2)*n^(-1/3)
감사합니다 행님 ^^
에잇
윗분 댓글에서 알 수 있듯이, a_n의 합이 수렴해도 a_n^3의 합은 발산할 수 있어요
오홍 역시 아직은 한계가 조금 있는거군요
글 올리기 전에 지피티 o3한테 풀게 시켜 봤는데, 알아서 잘 반례 찾더라고요
윗분이랑은 다른 반례였지만
헐 전 딥싴한테 20분정도 뺐겼어요
역시 정보도 안털리고 사진 뽑아주는 지피티가 고트네요
암것도 모르지만 딥시크를 돌려봤습니다. 딥시크가 수리적 능력은 챗지피티보다 좋다고 해서 시험삼고 싶었었습니다. 적절한 답이 될까여?