로그함수의 치역
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f(x)= ln x의 도함수는 f'(x)=1/x 이고 x -> inf에서 f'(x)->0입니다. 그렇다면 도함수가 0으로 수렴함에도 함수 f(x)의 치역이 실수 전체의 집합과 같은 이유는 무엇일까요?
고등교육과정 내에서 엄밀함은 좀 떨어져도 설명해봅시당
제가 개인적으로 생각해본 바가 있긴 한데, 수학황들의 생각도 궁금하군여
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정적분의 정의를 이용한 방법이군여! 길이 누적!
e^x의 정의역이 실수 전체이기 때문에 역함수인 lnx의 치역도 실수 전체
오! 제가 생각한거랑 같네여!어쨋든 0이 안되고 계속 증가함.
그리고 수열의극한이0이라고 급수가 무조건 수렴하진 않잖음
정적분을 급수개념으로 봐도 그렇져다만 0이 안되고 계속 증가한다는 말은 반대의 경우인 e^x의 경우 도함수가 음의 무한대로 갈 때 0이고 실제로도 원함수가 x축을 점근선으로 가지니... 이 부분은 함수에 따라 다른 것 같아여
극한값이 0인거지 0이 될 수 있는게 아님. 0에 한없이 가까워지는거.
점근선도 마찬가지. 그 선에 한없이 가까워지는 것일 뿐이지 증감이 사라지지 않음. e^x는 모든 실수x에 대해 증가함
그러니까 도함수가 0으로 수렴한다고 해서 원함수가 점근선을 가지며 치역이 제한될지 아니면 실수 전체의 집합을 치역으로 가질지는 원함수의 특징에 따라 다르다는거져.
맞노
수열의극한이0일때 하나는 급수가 수렴하고 하나는 급수가 발산하는 느낌이네
제대로 증명하려면 엡실론 델타 꺼내와야할듯
약간 아이디어만 따오면
어떤 큰 양의 상수 M을 제시해도 lim x -> inf 일때 lnx가 그것보다 더 크다고 할 수 있으니 무한대로 발산한다고 할 수 있는 그런느낌
저도 개인적으로 역함수로 설명하는 거 외에는 확실하게 딱 떨어지도록 고등 교육과정 내에서 설명하긴 힘든 것 같아여. 그나마 급수를 무한대로 밀면 발산한다 정도?
역함수로 설명하는건 뭔가... 증명이라는 느낌은 안나는데
또 논리적 오류는 없네요 ㅋㅋㅋ 뭐지
뭔가... 뭔가임
증명은 될 수 없으나 이해를 시키는 용도로는 가장 직관적(?)인 거 같아요
방금 gpt한테 물어봣는데
역함수 방법도 증명으로 가능하다하고
아니면 사잇값정리로 ㄱㄴ하다네요 lnx는 연속함수이고 왼쪽극한 음으로발산 오른쪽극한 양으로 발산이니
임의의 실수 y에 대해 lnc=y인 c가 항상 존재
근데 우리가 바란건 사실 이것보다 lnx가 왜 양의발산 음의발산인지에 가까우니
결국은 엡실론델타가 나와야 할 듯
f(e^x)=x
윗분 1/n 급수 발산한다는거랑 비슷한데
직관적으로 이해하면 y값 1만큼 올라갈때 필요한 x가 e배씩 증가함 -> 델타 x분의 델타 y는 점점 줄어서 기울기는 0으로 수렴함 그러나 y값이 1만큼 증가하기 위해 필요한 x값은 여전히 유한하므로 무한히 증가
다들 수학적 사고력이 뛰어나시네여그냥 그래프에서 확인하면 안 돼욤?
근데 어디까지나 우리가 로그함수의 그래프를 학습했기 때문에 그릴 수 있는지라... 될 수도 있고 안 될 수도 있을 것 같아서 잘 모르겠네여
f(x) -> infty라는 건
모든 N>0에 대하여 x >= n이면 ln x > N이도록 하는 자연수 n을 찾을 수 있다
그러니까 N을 어떻게 잡아도 그것보다 로그함수 값이 더 크게 만드는 점을 찾을 수 있다
귀류법으로다가 lnx<=N인 N이 존재한다고 가정해서 증명하셔도 됩니다
임의의 N에 대해서 언제나 더 큰 값이 존재하니 가정에 모순된다 이런 식으로